求微分方程通解 dy/dx=1/(xcosy+sin2y)

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/16 12:44:20
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求微分方程通解 dy/dx=1/(xcosy+sin2y)
求微分方程通解 dy/dx=1/(xcosy+sin2y)

求微分方程通解 dy/dx=1/(xcosy+sin2y)
→dx/dy=xcosy+sin2y
dx/dy - xcosy = sin2y
这是x关于y的一阶线性方程,
积分因子μ=e^(-∫(-cosy )dy ) =e^(∫cosy dy)=e^siny
则x=μ·(∫(e^(-siny) · sin2y )dy +C)
=μ·(2∫(e^(-siny) · siny · cosy)dy +C)
=μ·(2∫(e^(-siny) · siny )d siny +C)
=μ·(-2∫ siny d e^(-siny) +C)
=μ·(2∫ (-siny) d e^(-siny) +C)
=μ·(-2siny · e^(-siny) - 2∫e^(-siny) d (-siny) +C)
=μ·(-2siny · e^(-siny) - 2e^(-siny) +C)
=e^siny·(-2siny · e^(-siny) - 2e^(-siny) +C)
= -2siny - 2 +C·e^siny
x = -2siny - 2 +C·e^siny

dy/dx=1/(xcosy+sin2y)
dx/dy=xcosy+sin2y,这是一阶线性微分方程，通解为：
y=e^(siny)(C+2 ∫e^(-siny)sinydsiny)
=e^(siny)(C-2 sinye^(-siny)-e^(-siny))
=Ce^(siny)-2siny-2

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