当k为正整数时,k^5-5k^3+4k一定能被120整除,您认为正确吗?请说明理由.
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/06 08:17:02
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k^5-5k^3+4k
=k(k^4-5k^2+4)
=k(k^2-1)(k^2-4)
=k(k-1)(k+1)(k-2)(k+2)
=(k-2)(k-1)k(k+1)(k+2)
为5个连续自然数的乘积
5个连续自然数中,
至少有1个能被3整除
至少有1个能被5整除
至少有1个能被4整除
除了能被4整除的这个,还至少有一个能被2整除
3×5×4×2=120
所以5个连续的自然数相乘,一定能被120整除
所以k为正整数时,k^5-5k^3+4k一定能被120整除
可以分解为k(k-2)(k+2)(k-1)(k+1)这五个数中一定包含了2,3,4,5或这几个数的整数倍的数,120=2×3×4×5所以是对的。
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345是一组勾股数,那么证明3k,4k,5k(k是正整数).
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更一般地:当k为奇数时 求 (1/1)^k+(1/2)^k+(1/3)^k+(1/4)^k+(1/5)^k+ … +(1/n)^k=?
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