当X>1时,x+xlnx>k(x-1)(k属于正整数)恒成立,则正整数k的最大值为
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/28 14:51:50
当X>1时,x+xlnx>k(x-1)(k属于正整数)恒成立,则正整数k的最大值为
当X>1时,x+xlnx>k(x-1)(k属于正整数)恒成立,则正整数k的最大值为
当X>1时,x+xlnx>k(x-1)(k属于正整数)恒成立,则正整数k的最大值为
柯西中值定理:如果函数f(x)及F(x)满足
(1)在闭区间[a,b]上连续；
(2)在开区间(a,b)内可导；
(3)对任一x(a,b),F'(x)不等于0
那么在(a,b) 内至少有一点ξ,使等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ξ)/F'(ξ) 成立.
因此：令f(x)=x+xlnx; F(x)=x-1
那么在(1,b) 内至少有一点ξ,使等式[f(b)-f(1)]/[F(b)-F(1)]=f'(ξ)/F'(ξ) 成立
即：(b+blnb-1)/(b-1)=(2+lnξ)/1=2+lnξ
(b+blnb)/(b-1)=2+lnξ+1/(b-1)
显然：ξ>1,b>ξ>1
则：(b+blnb)/(b-1)>2
由于k1恒成立
故k的最大值为2
x+xlnx>k(x-1)在x>1时恒成立
∴x>1时，直线y1=k(x-1)恒在曲线y2=x+xlnx的下方
y1'=k；y2'=1+1+lnx=2+lnx
∴k≤2+lnx对于x>1恒成立
∴k≤2+ln1=2
∴正整数k的最大值为2
[(x+xlnx)/(x-1)]'=[(x-1)(2+lnx)-x-xlnx]/(x-1)^2=(x-2-lnx)/(x-1)^2 令[(x+xlnx)/(x-1)]'=0, 解得x=3.141415 当x<3.141415时，[(x+xlnx)/(x-1)]'<0,函数递减；当x>3.141415时，[(x+xlnx)/(x-1)]'>0,函数递增。 ∴当x=3.141415时，函数取得...
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[(x+xlnx)/(x-1)]'=[(x-1)(2+lnx)-x-xlnx]/(x-1)^2=(x-2-lnx)/(x-1)^2 令[(x+xlnx)/(x-1)]'=0, 解得x=3.141415 当x<3.141415时，[(x+xlnx)/(x-1)]'<0,函数递减；当x>3.141415时，[(x+xlnx)/(x-1)]'>0,函数递增。 ∴当x=3.141415时，函数取得最小值，最小值是 3.14619491587990 即k= 3.14619491587990∴k的最大值为3
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