证明题,救命给定半径为R的圆,问:是否存在该圆的一个外切三角形使其面积为圆面积的3/2倍?是否存在该圆的一个外切三角形使其面积为圆面积的2倍?证明你的结论
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 07:30:55
证明题,救命给定半径为R的圆,问:是否存在该圆的一个外切三角形使其面积为圆面积的3/2倍?是否存在该圆的一个外切三角形使其面积为圆面积的2倍?证明你的结论
证明题,救命
给定半径为R的圆,问:是否存在该圆的一个外切三角形使其面积为圆面积的3/2倍?是否存在该圆的一个外切三角形使其面积为圆面积的2倍?证明你的结论
证明题,救命给定半径为R的圆,问:是否存在该圆的一个外切三角形使其面积为圆面积的3/2倍?是否存在该圆的一个外切三角形使其面积为圆面积的2倍?证明你的结论
分别连接圆心和三个切点,这三条连线（半径）将圆心角分成三部分：θ1,θ2,θ3
有θ1,θ2,θ3∈(0,π),θ1＋θ2＋θ3＝2π
令φ(i)＝θ(i)/2,i＝1,2,3,那么φ1,φ2,φ3∈(0,π/2),φ1＋φ2＋φ3＝π
容易证明外切三角形面积S＝R²(tanφ1＋tanφ2＋tanφ3)
（方法：分别连接圆心和外切三角形的三个顶点,将三角形分成6个部分,然后分别算再加起来）
外切三角形面积于圆面积之比＝S/(πR²)＝(tanφ1＋tanφ2＋tanφ3)/π
因此,原题即求(tanφ1＋tanφ2＋tanφ3)/π的取值范围
约束条件φ1,φ2,φ3∈(0,π/2),φ1＋φ2＋φ3＝π
tanφ3＝tan(π-φ1-φ2)＝-tan(φ1+φ2)＝(tanφ1+tanφ2)/(tanφ1*tanφ2-1)
令x＝tanφ1,y＝tanφ2,则x＞0,y＞0
而tanφ3＝(x+y)/(xy-1)＞0,故xy＞1
tanφ1＋tanφ2＋tanφ3＝x＋y＋(x+y)/(xy-1)
转化为f(x,y)＝x＋y＋(x+y)/(xy-1)的取值范围
约束条件x＞0,y＞0,xy＞1
求偏导(f'x)(x,y)＝1－(1+y²)/(xy-1)²,(f'y)(x,y)＝1－(1+x²)/(xy-1)²
令(f'x)(x,y)＝(f'y)(x,y)＝0,得到驻点(√3,√3)
容易验证这是极小值点（求二阶偏导）,不存在最大值
将(x,y)＝(√3,√3)回代,得到tanφ1＝tanφ2＝tanφ3＝√3
此时(tanφ1＋tanφ2＋tanφ3)/π取最小值3√3/π（此时三角形为正三角形）
所以面积比值的取值范围是[3√3/π,+∞)
由于3/2＜3√3/π＜2,因此比值不可能为3/2,但可以为2,即：
【结论】不存在该圆的一个外切三角形使其面积为圆面积的3/2倍；存在该圆的一个外切三角形使其面积为圆面积的2倍.
下面针对比值为2求一个例子
(tanφ1＋tanφ2＋tanφ3)/π＝2,f(x,y)＝x＋y＋(x+y)/(xy-1)＝2π
令x＝2,得y²－2(π-1)y＋π＝0,解得y＝π－1±√(π²-3π+1)
取y＝π－1＋√(π²-3π+1),此时(x+y)/(xy-1)＝π－1－√(π²-3π+1)
回代得：tanφ1＝2,tanφ2＝π－1＋√(π²-3π+1),tanφ3＝π－1－√(π²-3π+1)
因此,取三条半径将圆心角分为：
θ1＝2arctan2,θ2＝2arctan[π－1＋√(π²-3π+1)],θ3＝2arctan[π－1－√(π²-3π+1)]
然后过三个端点分别作半径的垂线相交得A,B,C三点
⊿ABC为圆的外切三角形,其面积为圆面积的2倍
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补充一下,用初等方法也可以做,先证明外切等腰三角形面积小于顶角相等的普通外切三角形,然后将问题限制在外切等腰三角形范围内考虑,容易得出外切正三角形面积最小.