已知x、y是实数,且满足方程x2-2xy+y2-√2x-√2y+8=0,求下列各式的最小值：（1）x+y；（2）xy
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/20 08:28:35
已知x、y是实数,且满足方程x2-2xy+y2-√2x-√2y+8=0,求下列各式的最小值：（1）x+y；（2）xy
已知x、y是实数,且满足方程x2-2xy+y2-√2x-√2y+8=0,求下列各式的最小值：（1）x+y；（2）xy
已知x、y是实数,且满足方程x2-2xy+y2-√2x-√2y+8=0,求下列各式的最小值：（1）x+y；（2）xy
(1) 设x+y=t,则y=t-x.
代入方程中，x²+(t-x)²-2x(t-x)-√2xt+8=0
即：4x²-(4+√2)tx+t²+8=0有解，故判别式>=0。
也就是说(-(4+√2)t)²-168>=0, t²>=168/(18+8√2).
另外观察到√2(x+y)=(x-y)²+8>...
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(1) 设x+y=t,则y=t-x.
代入方程中，x²+(t-x)²-2x(t-x)-√2xt+8=0
即：4x²-(4+√2)tx+t²+8=0有解，故判别式>=0。
也就是说(-(4+√2)t)²-168>=0, t²>=168/(18+8√2).
另外观察到√2(x+y)=(x-y)²+8>0 故t=x+y>0, t>=(8√2)/(4+√2)=(16√2-8)/7.
所以x+y的最小值是(16√2-8)/7。
(2)我们接下来变换方程左边：
x²-2xy+y²-√2x-√2y+8=x²+2xy+y²-4xy-√2x-√2y+8=(x+y)²-√2(x+y)+8-4xy=0,
于是4xy=(x+y)²-√2(x+y)+8=t²-√2t+8=(t-√2/2)²+15/2.
由上问t>=(16√2-8)/7
t-√2/2>=(16√2-8)/7-√2/2=(25√2-16)/14>0,
于是(t-√2/2)²>=[(25√2-16)/14]²=(1506-800√2)/196=(753-400√2)/98.
4xy>=(753-400√2)/98+15/2=(1488-400√2)/98
xy>=(372-100√2)/98=(186-50√2)/49.
因此xy的最小值是(186-50√2)/49。
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