求周长的最小值过第一象限点M(p,q)一直线与x、y轴正半轴分别交于A,B两点,求△ABO周长的最小值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/28 20:09:36
求周长的最小值过第一象限点M(p,q)一直线与x、y轴正半轴分别交于A,B两点,求△ABO周长的最小值
求周长的最小值
过第一象限点M(p,q)一直线与x、y轴正半轴分别交于A,B两点,求△ABO周长的最小值
求周长的最小值过第一象限点M(p,q)一直线与x、y轴正半轴分别交于A,B两点,求△ABO周长的最小值
答：
设过点M(p，q)的直线为k(x-p)+(y-q)=0
因此：直线与x、y的正半轴相交于点A和点B
所以：斜率-k<0，k>0
令x=0，y=kp+q，即点B坐标
令y=0，x=q/k+p，即点A坐标
周长：
f(k)=x+y+√(x²+y²)
>=2√(xy)+√(2xy)
=(2+√2)*√(xy...
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答：
设过点M(p，q)的直线为k(x-p)+(y-q)=0
因此：直线与x、y的正半轴相交于点A和点B
所以：斜率-k<0，k>0
令x=0，y=kp+q，即点B坐标
令y=0，x=q/k+p，即点A坐标
周长：
f(k)=x+y+√(x²+y²)
>=2√(xy)+√(2xy)
=(2+√2)*√(xy)
=(2+√2)√[(q/k+p)(kp+q)]
=(2+√2)√(2pq+q²/k+kp²)
>=(2+√2)√(2pq+2pq)
=(4+2√2)√(pq)
所以：三角形ABO周长的最小值为(4+2√2)√(pq)
收起
设直线斜率为k
则直线方程为:y-q=k(x-p) (p,q>0)
这样可以求出A,B
当x=0 y=q-kp B(0,q-kp)
当y=0 x=p-q/k A(p-q/k,0)
OA=p-q/k OB=q-kp
AB=根号((p-q/k)^2+(q-kp)^2)
所以三角形ABO周长=OA+OB+AB=p-q/k +q-...
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设直线斜率为k
则直线方程为:y-q=k(x-p) (p,q>0)
这样可以求出A,B
当x=0 y=q-kp B(0,q-kp)
当y=0 x=p-q/k A(p-q/k,0)
OA=p-q/k OB=q-kp
AB=根号((p-q/k)^2+(q-kp)^2)
所以三角形ABO周长=OA+OB+AB=p-q/k +q-kp +根号((p-q/k)^2+(q-kp)^2)
当OA=OB时取最小值
p-q/k=q-kp
k=-1
所以OA=OB=p+q
AB=根号2 (p+q)
所以最小值=(p+q)(2+根号2)
收起