一道初中矩形折叠问题,40分求高手在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD中,边AB=2,AD=1,且AB,AD分别在x轴,y轴的正半轴上,点A与坐标原点重合,将矩形折叠使点A落在边DC上,设A′是点A落在边DC上的对应

一道初中矩形折叠问题,40分求高手在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD中,边AB=2,AD=1,且AB,AD分别在x轴,y轴的正半轴上,点A与坐标原点重合,将矩形折叠使点A落在边DC上,设A′是点A落在边DC上的对应
一道初中矩形折叠问题,40分求高手
在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD中,边AB=2,AD=1,且AB,AD分别在x轴,y轴的正半轴上,点A与坐标原点重合,将矩形折叠使点A落在边DC上,设A′是点A落在边DC上的对应点.
（1）当矩形ABCD沿直线y=-0.5x+b折叠时,求A′坐标和b
（2）当沿直线y=kx+b折叠时,求A′的坐标（k表示）；求出k和b之间的关系式.
（3）如果我们把折痕分为图1（与矩形两交点在CD,AB上）图2（在OD,AB上）,图3（在OD,BC上）分别求出k的取值范围
（只要求（3）写过程,详细的多+分）

一道初中矩形折叠问题,40分求高手在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD中,边AB=2,AD=1,且AB,AD分别在x轴,y轴的正半轴上,点A与坐标原点重合,将矩形折叠使点A落在边DC上,设A′是点A落在边DC上的对应

先做第2问,直接求y=kx+b的一般情况

设折线为L,则根据折叠的定义,AA'必与L垂直,这是个相当重要的条件

于是有kAA'*kL=-1,因为L的斜率表示为k,所以kAA,=-1/k

而A点为原点（0,0）,故根据点斜式可得出AA'方程为y=(-1/k)x

A'由题意知肯定落在CD上,于是A'点的纵坐标必为1,代入AA'方程得到A'的横坐标为-k,于是A'的坐标用k表示为(-k,1)

由折叠概念知,A,A'两点关于折线L对称,于是AA'的中点E在L上,E的坐标根据中点公式可求为(-k/2,1/2),带入到L的方程=kx+b中,可得到关于k,b的关系式：b=(k^+1)/2

由此,第2问先一步求出

第1问显然是第2问当k给定具体值时候的情况,把k=-0.5代入A'坐标与b、k间的关系式,可得到A'(1/2,1),b=5/8

最后来求第3问,由第2问中A'的位置可以确定,A'由于在DC之间任意落位,所以它横坐标A'D的范围是[0,2],根据用k表示的A'横坐标的关系,可以得出-k∈[0,2],于是,k∈[-2,0],这是满足所以题意时的k的取值范围,下面考察当A'按从C到D的运动顺序,所对应的折线与矩形交点的几种情况：

可以看出,到A'与C重合时,此时AA=AC,AA'的垂直平分线即折线L与矩形的交点必然是位于CD之上（因为CD>AD的关系）；如果A'从C点出发向D的方向运动,直到A'落在一个特定的位置之前,折线与矩形两个交点都是分别在CD,AB上,而当A'取这个临界点的位置时,无疑,此时折线与CD恰好交于D点,也就是说,D点此时在折线L上,由A,A'点的对称于L的关系,可得出AD=A'D的结论,所以A'D=1,也就是说-k=1,k=-1,所以,当k∈[-2,-1],-k∈[1,2],即A’距离y轴的范围是由1到2时,存在A'D>AD,故满足折线与矩形的交点在AB和CD上的条件,也就是图1的情况,当k恰好等于-1时,折线恰好过D点；

继续A'向D点移动的过程,此时,可以分析出,当k稍微大于-1时,A'D<AD,此时L必与CD交于其延长线上,所以L与AD一定会相交,而显然,随着A'向着D点的靠近,折线L与AB的交点位置也是在不断靠近B点的,也就是说,在A'移动的过程中,折线最终会与B点相交,而在这种情况发生之前,显然折线是与矩形中AD,AB两边相交的,下面做出图来说明这又一个的临界点、特殊点

如图中所示(图不知道能不能贴上去,反正第一次答完题后图没有显示,楼主自己示意一下就行),设折线L与AD交于E点,根据折叠的对称性,可得△ABE≌△A'BE,有∠EA'B=90度,A'B=AB=2,于是在Rt△A’CE中,可求出A'C=√3,A'D=CD-A'D=2-√3,也就是说,此时的-k=2-√3,k=√3-2

由此得出,当k∈[-1,√3 -2],-k∈[2-√3,1]时,折线L与AD,AB两边相交,此时满足条件中的图2情况,而当k=√3 -2时,折线恰好过B点；

最后,当k∈[√3-2,0],-k∈[0,2-√3]时,A'点恰好从刚才折线过点B的临界点运动到终点D,在这个过程中,显然折线L是与AD相交的,而由于AB与折线的交点逐渐在远离B点,因此可以判断出此时L还是与BC相交的,故此时的折线所对应的是图3中与AD,BC相交时的情况 当k=0时,A'与D重合,此时AD关于折线对称,自然有折线L平行于x轴的结论,此时的L平分矩形ABCD中AD,BC这两边

综上,第3问的结论是：

当折痕满足与于CD,AB相交时,k∈[-2,-1）;

当折痕交于AB以及过点D即同时与CD、AD相交时,k=-1;

当折痕满足于与AD,AB相交时,k∈(-1,√3-2);

当折痕交于AD以及过点B即同时与AB、BC相交时,k=√3-2;

当折痕满足于与AD,BC相交时,k∈(√3-2,0]

（1） 当矩形ABCD沿直线y=-0.5x+b折叠时
折叠线与Y轴的交点就是b,x=0时，y=b
折叠线与X轴的交点即Y=0时X值，x=2b
设折叠线与Y轴的交点为E，与X轴的交点为F
则A'E=EA=b,ED=1-b
E(0,b),F(2b,0)
设A'坐标（x,1）
则有，DE^2+...

全部展开

（1） 当矩形ABCD沿直线y=-0.5x+b折叠时
折叠线与Y轴的交点就是b,x=0时，y=b
折叠线与X轴的交点即Y=0时X值，x=2b
设折叠线与Y轴的交点为E，与X轴的交点为F
则A'E=EA=b,ED=1-b
E(0,b),F(2b,0)
设A'坐标（x,1）
则有，DE^2+DA'^2=EA'^2,即x^2+(1-b)^2=b^2
所以，x^2=2b-1
EA'的斜率Kea'=(1-b)/x
FA'的斜率Kfa’=1/(x-2b)
EA'⊥FA'
则，[(1-b)/x][1/(x-2b)]=-1
得到：x^2-2bx=b-1
x=0.5,b=5/8
故，A'(0.5,1),b=5/8即为所求A′坐标和b
(2) 折线方程式y=kx+b
求E、F两点的坐标
E(0,b),F(-b/k,0)
设A'(x,1)
据上（1）的解题过程，可得：
x^2=2b-1........................1)
[1/(x+b/k)]*[(1-b)/x]=-1
x^2+bx+k(1-b)=0.................2)
解方程组1）、2）得：
x=k-2+(1-k)/b
即 [(1-k)(1-b)+b]/b=x
所以， (2b-1)b^2=[(1-k)(1-b)+b]^2
[(1-k)(1-b)+b]=b√(2b-1)
k=[1-b√(2b-1)]/(1-b)
即为所求k和b之间的关系式
(3)因为看不到图，就按照下述分析来做
a) x=1时，折痕的两个交点在矩形的CD,AB上
0.5 -1≤k<0
b) 当1≤x≤2时，折痕还在AB、CD上
-1≤k≤-2
A'和C重合时，k=-2
c) x=2以后，A'将到达BC延长线上，这时折痕在OA'的垂直平分线上，k值将往回变化，最终又变化到
k=-1,即当折痕的一个点是B点时，OA'=2√2，BA'=2
所以，-1≤k≤-2
之后再没有可以折的了。

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