求证一道数学归纳法的题求证 n为自然数时,1/(n+1)+1/(n+2)+.+1/(2n+1)
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/16 10:50:11
求证一道数学归纳法的题求证 n为自然数时,1/(n+1)+1/(n+2)+.+1/(2n+1)
求证一道数学归纳法的题
求证 n为自然数时,1/(n+1)+1/(n+2)+.+1/(2n+1)
求证一道数学归纳法的题求证 n为自然数时,1/(n+1)+1/(n+2)+.+1/(2n+1)
当n=1时,原式显然成立
若n=k时,此式成立,即
……(1)成立
那么考虑n=k+1,原式相应地变成
……(2)
(2)-(1)的左边,得
,
而
=0,所以(2)-(1)的左边<0,所以(2)<1依然成立.
由1、2两点可以归纳得原式对一切自然数均成立
当n=1时,S1=1/2+1/3<1,命题成立;
假设当n=k时,命题成立,即Sk=1/(k+1)+1/(k+2)+........+1/(2k+1) <1,
当n=k+1时,
S(k+1)
=1/(k+2)+1/(k+3)+........+1/(2k+1)+1/(2k+2) +1/(2k+3)
=Sk+1/(2k+2) +1/(2k+3) -1/(k+...
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当n=1时,S1=1/2+1/3<1,命题成立;
假设当n=k时,命题成立,即Sk=1/(k+1)+1/(k+2)+........+1/(2k+1) <1,
当n=k+1时,
S(k+1)
=1/(k+2)+1/(k+3)+........+1/(2k+1)+1/(2k+2) +1/(2k+3)
=Sk+1/(2k+2) +1/(2k+3) -1/(k+1)
=Sk+1/(2k+3) -1/(2k+2)
综上,n为自然数时, 1/(n+1)+1/(n+2)+........+1/(2n+1) <1。
收起
当n=1时,原式显然成立 若n=k时,此式成立,即 ……(1)成立 那么考虑n=k+1,原式相应地变成 ……(2) (2)-(1)的左边,得 , 而 =0,所以(2)-(1)的左边<0,所以(2)<1依然成立。 由1、2两点可以归纳得原式对一切自然数均成立
收起
何必如此复杂。∵n为自然数,∴1/(n+2)<1/(n+1),........1/[n+(n+1)]<1/(n+1)
∴1/(n+1)+1/(n+2)+........+1/(2n+1)<(n+1)/(n+1)=1