一道数学归纳法证明题求证 5个连续自然数的积能被120整除
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 15:00:21
一道数学归纳法证明题求证 5个连续自然数的积能被120整除
一道数学归纳法证明题
求证 5个连续自然数的积能被120整除
一道数学归纳法证明题求证 5个连续自然数的积能被120整除
1)1*2*3*4*5=120
2)设n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)=120k
则(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)=120k/n*(n+5),定能被120整除
------典型的数学归纳法
把120分解质因数，得2，2，2，3，5
2*2=4，
因此这5个数是2，3，4，5外加一个1
即1，2，3，4，5
设:第1个自然数为X
.....2......则为X+1
.....3......则..X+2
.....4......则..X+3
.....5......则..X+4
X(X+1)(X+2)(X+3)(X+4)=120
解得................X=1
5个连续自然数中，必有2的倍数，3的倍数，4的倍数，5的倍数。
所以它们的积必为2*3*4*5=120的倍数。
改证在连续n个自然数的积能被n!整除
证:设n个自然数为a,a+1,a+2~~a+n-1
易证一个自然数能被1整除
假定n=k时结论正确即
(k!)|(a)*(a+1)*~~~*(a+k-1)
那么当n=k+1时,
积为(a)*(a+1)*~~~*(a+k-1)*(a+k)
(k+1)!中(k)!|(a)*...
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改证在连续n个自然数的积能被n!整除
证:设n个自然数为a,a+1,a+2~~a+n-1
易证一个自然数能被1整除
假定n=k时结论正确即
(k!)|(a)*(a+1)*~~~*(a+k-1)
那么当n=k+1时,
积为(a)*(a+1)*~~~*(a+k-1)*(a+k)
(k+1)!中(k)!|(a)*(a+1)*~~~*(a+k-1)而k+1在连续k+1个自然数中必有其倍数
所以(k+1)!|(a)*(a+1)*~~~*(a+k-1)*(a+k)
所以在连续n个自然数的积能被n!整除
所以5个连续自然数的积能被120整除
收起
120=1*2*3*4*5