同角三角比是否存在α∈(0,90),使关于x的方程：x^2－4xcosα＋2=0和x^2－4xsinα－2=0有一个根相等?如果不存在,请说明理由
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/28 03:31:47
同角三角比是否存在α∈(0,90),使关于x的方程：x^2－4xcosα＋2=0和x^2－4xsinα－2=0有一个根相等?如果不存在,请说明理由
同角三角比
是否存在α∈(0,90),使关于x的方程：x^2－4xcosα＋2=0和x^2－4xsinα－2=0有一个根相等?如果不存在,请说明理由
同角三角比是否存在α∈(0,90),使关于x的方程：x^2－4xcosα＋2=0和x^2－4xsinα－2=0有一个根相等?如果不存在,请说明理由
设第一条方程的解为a和k 第二条为b和k 有韦达定理列方程组得k＝2cosa＋2sina a和b恒不相等
易知k＝2cosa+√（4cos^2a-2） 或2cosa-√（4cos^2a-2）
或 ＝2sina＋√（4sin^2a+2）或2sina＋√（4sin^2a+2）
解得只有sina＝0.5
a＝30
因为 x^2-4x cosa+2=0 , 所以 cosa = (x^2+2)/4x ;
又因为 x^2-4x sina-2=0 , 所以 sina = (x^2-2)/4x .
又： （cosa)^2+（sina）^2=1 ， 所以 （ (x^2+2)/4x）^2 （(x^2-2)/4x）^2=1 ，解得：
x^2=4+√3 或4-√3.
当x^2=4+√3 ...
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因为 x^2-4x cosa+2=0 , 所以 cosa = (x^2+2)/4x ;
又因为 x^2-4x sina-2=0 , 所以 sina = (x^2-2)/4x .
又： （cosa)^2+（sina）^2=1 ， 所以 （ (x^2+2)/4x）^2 （(x^2-2)/4x）^2=1 ，解得：
x^2=4+√3 或4-√3.
当x^2=4+√3 时 ， x=1+√3. 代人原来的两个式子，得：cosa=√3/2 且 sina=0.5
又a在0到90度之间，故a=30度. 因此存在所求的a. 证明完毕.
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