一道概率题：请写出思路：N个战士N支枪,夜里紧急集合,每人随机取一支枪,求所有人都取错枪的概率.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/26 06:03:59
一道概率题：请写出思路：N个战士N支枪,夜里紧急集合,每人随机取一支枪,求所有人都取错枪的概率.
一道概率题：请写出思路：N个战士N支枪,夜里紧急集合,每人随机取一支枪,求所有人都取错枪的概率.
一道概率题：请写出思路：N个战士N支枪,夜里紧急集合,每人随机取一支枪,求所有人都取错枪的概率.
用容斥原理.
总共有N!种取枪的方法.下面先求至少有一个人取对枪的事件数.
用A(k)表示第k个人取对枪的事件,用X表示所有的事件(|X|=N!),我们要求
|(A1+A2+...+An)|（这里＋表示并的意思,真正的并的符号打不出来了）
用A(k1,k2,...,kj)表示k1,k2,...,kj都取对枪的事件（一共j个不同的人）
由容斥原理,
｜A1＋A2＋...+An| = (对所有k求和）|Ak| - (对所有k1,k2求和) |A(k1,k2)| + ...+
(-1)*{j-1}(对所有k1,k2,...,kj求和)|A(k1,k2,...,kj)| + ...+ (-1)^{n-1}|A(1,2,...,n)|
对于A(k1,k2,...,kj),由于j个人已经取对,乘下(N-j)个人可以任意取,有(N-j)!种取法.又我们是对所有(k1,...,kj)求和,这样的(k1,...,kj)共有N!/(j!(N-j)!)组,每组对应的A(k1,...,kj)都是(N-j)!,所以上式每一项可以写为(-1)^{j-1}* N!/j!
所以
|A1+...+An| = N!-N!/2!+ N!/3!+ ...+ (-1)^{N-1}N!/N!,最后这个总数还要除以N!,并且用1去减,所以所有人取错的概率为
1/2!-1/3!+ ...+ (-1)^N/N!
此问题又称“装错信封问题”
每个人有N种取枪的可能
第一个人要拿错，，有N-1种选择
第二个人要拿错，，有N-2种选择
。
。
。
第N个人要拿错，，有1种选择
所以每个人选错的概率是 （N-1）！/N^N如果第一个人拿了2号枪，那么第二个人有N-1种取法，如果第一个人拿的不是2号枪，第二个人有N-2种取法.........
全部展开
每个人有N种取枪的可能
第一个人要拿错，，有N-1种选择
第二个人要拿错，，有N-2种选择
。
。
。
第N个人要拿错，，有1种选择
所以每个人选错的概率是 （N-1）！/N^N
收起
所有取法为：N的阶乘
至少有一个人取对枪。其他人拿枪方法就只剩下N-1个人,取N-1把枪有N-1的阶乘个取法。有N种可能，再减去重复的那部分（这地方知识忘记了，不记得算法了）。
用所有取法减去至少有一个人取对枪的取法，就是没有一个人取对枪即所有人取错枪的取法。然后再除以所有取法则得到所有人取错枪的概率。...
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所有取法为：N的阶乘
至少有一个人取对枪。其他人拿枪方法就只剩下N-1个人,取N-1把枪有N-1的阶乘个取法。有N种可能，再减去重复的那部分（这地方知识忘记了，不记得算法了）。
用所有取法减去至少有一个人取对枪的取法，就是没有一个人取对枪即所有人取错枪的取法。然后再除以所有取法则得到所有人取错枪的概率。
收起
不论错误与否的情况为你的全排列
全错就是都不拿自己的，n-1的排列