若数列{an}中,a1=tanα,且an+1=(1+an)/(1-an)求{an}通项
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/26 11:31:29
若数列{an}中,a1=tanα,且an+1=(1+an)/(1-an)求{an}通项
若数列{an}中,a1=tanα,且an+1=(1+an)/(1-an)求{an}通项
若数列{an}中,a1=tanα,且an+1=(1+an)/(1-an)求{an}通项
a(1)=tan(α),
a(2)=[1+tan(α)]/[1-tan(α)]=[tan(PI/4)+tan(α)]/[1-tan(PI/4)tan(α)] = tan(α+PI/4),
a(3)=[1+tan(α+PI/4)]/[1-tan(α+PI/4)]=tan(α+PI/4+PI/4)=tan(α+PI/2)
a(4)=tan(α+PI/2+PI/4)=tan(α+3PI/4)
a(5)=tan(α+3PI/4+PI/4)=tan(α+PI)=tan(α),
...
a(4n-3)=tan(α)
a(4n-2)=tan(α+PI/4)
a(4n-3)=tan(α+PI/2)
a(4n)=tan(α+3PI/4)
a(n)=tan[α+(n-1)PI/4]
上面那位的严格证明可用数学归纳法，在数学中数学归纳法往往跟不完全归纳法结合使用，用后者寻找规律，再用前者证明规律的正确性。前几天我在证明连续自然数立方和的公式时发现一个很好玩的应用：从1到n的连续自然数，其和形式为an^2+bn+c，平方和为an^3+bn^2+cn+d，然后可以假想出立方和形式，四次方和形式等等，再用几个n的值带进去待定系数求出系数abcdef…的值，然后再用数学归纳法证明，最后...
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上面那位的严格证明可用数学归纳法，在数学中数学归纳法往往跟不完全归纳法结合使用，用后者寻找规律，再用前者证明规律的正确性。前几天我在证明连续自然数立方和的公式时发现一个很好玩的应用：从1到n的连续自然数，其和形式为an^2+bn+c，平方和为an^3+bn^2+cn+d，然后可以假想出立方和形式，四次方和形式等等，再用几个n的值带进去待定系数求出系数abcdef…的值，然后再用数学归纳法证明，最后回头思考，发现问题，比如各公式的最高项的系数还有个明显的规律（可用积分的定义证明），解决问题。很像一个科学实验的方法。
此题也可以用不动点法。不动点为x＝(1+x)/(1-x)解得x=i或-i，两边减去不动点，得
an+1-i=[1+an-i(1-an)]/(1-an)=(1+i)(an-i)/(1-an)接下来取倒数就可变成bn+1=xbn+y的常见形式，或者也可用另一不动点同样的方法再得一式，两式相除可得cn+1/cn=常数的等比数列形式
收起
a(n)=tan[α+(n-1)PI/4]