高一简单数学数列问题 数列 求帮 24小时内处理 急急急已知数列{an}满足 a1=3 an+1=2an+1 求通项公式.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 13:01:46
高一简单数学数列问题 数列 求帮 24小时内处理 急急急已知数列{an}满足 a1=3 an+1=2an+1 求通项公式.
高一简单数学数列问题 数列 求帮 24小时内处理 急急急
已知数列{an}满足 a1=3 an+1=2an+1 求通项公式.
高一简单数学数列问题 数列 求帮 24小时内处理 急急急已知数列{an}满足 a1=3 an+1=2an+1 求通项公式.
An代表an A(n+1)代表an+1 否则写出来会混的
A(n+1)+1=2(An+1)
所以A(n+1)+1 / An+1=2
A1+1=3+1=4
所以An+1是以4为首项,q=2的等比数列
所以An+1=2的（n-1）次方*4=2的（n+1）次方
所以an=2的（n+1）次方+1
a(n+1)=2an+1
设a(n+1)+r=2(an+r)
展开a(n+1)=2an+r
与原式对应
r=1
所以{an+1}是一个以2为公比 4为首项的等比数列
所以an+1=4 ·2的n次方减一
an=(2的n次方加一)-1
a1=1
an=0
由an+1=2an+1变形为a（n+1）+1=2（an+1）
所以数列an+1是以a1+1为首项，2为公比的等比数列
故an+1=（a1+1）×2^（n-1）
通项公式an=2^（n+1）-1
an=2^(n+1)-1（n为正整数）
可以采用先猜想后数学归纳证明或迭代法两种方法。
法一：a1=1;a2=3;a3=7;a4=15;a5=31。猜想可知，an=2^(n+1)-1。
数学归纳证明：（1）n=1时，a1=2-1=1成立；
（2）设n=k时成立，即ak=2^(k+1)-1，则n=k+1时，有a（k+1） ...
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an=2^(n+1)-1（n为正整数）
可以采用先猜想后数学归纳证明或迭代法两种方法。
法一：a1=1;a2=3;a3=7;a4=15;a5=31。猜想可知，an=2^(n+1)-1。
数学归纳证明：（1）n=1时，a1=2-1=1成立；
（2）设n=k时成立，即ak=2^(k+1)-1，则n=k+1时，有a（k+1） =2ak+1=2*（2^(k+1)-1）+1=2^(k+2)-2+1=2^(k+2)-1也成立。
因此，由数学归纳法得猜想成立，即an=2^(n+1)-1（n为正整数）
法二：an+1=2an+1=2*2（a（n-1）+1）+1=2^2*a(n-1)+2+1=2^2*（2a（n-2）+1）+2+1=2^3*a(n-2)+2^2+2+1=……=2^n*a1+2^(n-1)+2^(n-2)+……+2+1=2^n+2^(n-1)+2^(n-2)+……+2+1=1*(1-2^(n+1))/(1-2)=2^(n+1)-1
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