请问这个问题如何用数学归纳法来证明是否存在常数a,b,使1^2+3^2+……+(2n-1)^2=(1/3)n(an^2 +b)对任意的正整数n都成立?证明结论.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/16 03:30:57
请问这个问题如何用数学归纳法来证明是否存在常数a,b,使1^2+3^2+……+(2n-1)^2=(1/3)n(an^2 +b)对任意的正整数n都成立?证明结论.
请问这个问题如何用数学归纳法来证明
是否存在常数a,b,使1^2+3^2+……+(2n-1)^2=(1/3)n(an^2 +b)对任意的正整数n都成立?证明结论.
请问这个问题如何用数学归纳法来证明是否存在常数a,b,使1^2+3^2+……+(2n-1)^2=(1/3)n(an^2 +b)对任意的正整数n都成立?证明结论.
n=1时有1=1/3×(a+b)
n=2时有1+9=1/3×2(4a+b)
如果能成立,联立得a=4,b=-1.
验证易知n=3时,左边=1+9+25=35=1/3×3×(4×9-1)=右边成立.
假设当n=k(k≥2)时有1^2+3^2+……+(2k-1)^2=(1/3)k(4k^2 -1)成立,则
当n=k+1时,有
左边=1^2+3^2+……+(2k-1)^2+(2k+1)^2=(1/3)k(4k^2 -1)+(2k+1)^2=1/3*(2k+1)(2k^2-k)+(2k+1)^2
=1/3*(2k+1)(2k^2-k+6k+3)=1/3*(2k+1)(k+1)(2k+3)=1/3*(k+1)[4(k+1)^2-1]=右边.
故对任意的正整数n都有1^2+3^2+……+(2n-1)^2=(1/3)n(4n^2 -1)成立.
所以，综1>、2>，由数学归纳原理可证明该命题成立。 请问什么是数学归纳法？如何运用这种方法证明问题？谢谢 数学归纳法是一这个方法的原理在于第一步
数学归纳法：首先我们令n=1
1/3×1×(a+b)=1^2=1
我们再令n=2
1/3×2×(a×4+b)=1^2+3^2=10
组成方程组
a+b=3
4a+b=15
解得a=4，b=-1
假设此等式对正整数n=k成立，即
1^2+3^2+……+(2k-1)^2=(1/3)k(4×k^2 -1)
则正整数n=k+1...
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数学归纳法：首先我们令n=1
1/3×1×(a+b)=1^2=1
我们再令n=2
1/3×2×(a×4+b)=1^2+3^2=10
组成方程组
a+b=3
4a+b=15
解得a=4，b=-1
假设此等式对正整数n=k成立，即
1^2+3^2+……+(2k-1)^2=(1/3)k(4×k^2 -1)
则正整数n=k+1时
1^2+3^2+……+(2k-1)^2+(2k+1)^2=(1/3)k(4*k^2 -1)+(2k+1)^2=1/3*(k+1)(4*(k+1)^2 -1)
所以等式依然成立
综上所述存在a=4，b=-1，使1^2+3^2+……+(2n-1)^2=(1/3)n(an^2 +b)对任意的正整数n都成立
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