如何用数学归纳法证明3^n〉n^2 对一切自然数皆成立?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 02:40:15
如何用数学归纳法证明3^n〉n^2 对一切自然数皆成立?
如何用数学归纳法证明3^n〉n^2 对一切自然数皆成立?
如何用数学归纳法证明3^n〉n^2 对一切自然数皆成立?
设函数f(n)=3^n-n^2
n=1 f(n)=3-1=2>0 成立
设n=k时 f(n)>0 成立 即是3^k-k^2>0 3^k>k^2
当n=k+1 f(n)=3^(k+1)-（k+1)^2=3 X3^k -[(k+1)/k]^2 x n^2
明显的 (k+1)/k=1+1/k 当n>1(自然数,且1已证) (k+1)/k0
即是f(k+1)>0
根据数学归纳法,可知,当n为任何自然数,f(n)>0 即3^n-n^2>0
3^n>n^2
(其实应该可以直接用不等式来做,不过方法差不多)
当n=1.
当n=2
假设当n=n时， 不等式成立
n+1 时， 3^n =（1+2）^n 用二次项定理展开，与n^2相比较
设y=3^n-n^2，由题意得即证明y〉0
（1）当n=1时，y=3-2=1〉0恒成立
（2）设当n〉1且n为自然数时y〉0成立2乘以（3^n）-2n-
（3）当k=n+1时，y=3^（n+1）-（n+1）^2=3乘以（3^n）-n^2-2n-1，由（2）得3^n-n^2〉0恒成立，则y=2乘以（3^n）-2n-1+3^n-n^2
n〉1且n为自然数，所以你最小为2...
全部展开
设y=3^n-n^2，由题意得即证明y〉0
（1）当n=1时，y=3-2=1〉0恒成立
（2）设当n〉1且n为自然数时y〉0成立2乘以（3^n）-2n-
（3）当k=n+1时，y=3^（n+1）-（n+1）^2=3乘以（3^n）-n^2-2n-1，由（2）得3^n-n^2〉0恒成立，则y=2乘以（3^n）-2n-1+3^n-n^2
n〉1且n为自然数，所以你最小为2，2乘以（3^n）-2n-1 的最小值是13，3^n-n^2〉0，所以当k
=n+1时，n〉1且n为自然数时y〉0恒成立。
终上所述3^n〉n^2 对一切自然数皆成立
收起
【1】①n=1时，3＞1，②n=2时，9＞4，③n=3时，27＞9.【2】假设当n=k时(k≥3)，有3^k＞k².则3^k＞k²＞2k.即3^k＞2k.显然有3^k＞1.∴3^k＞k².且3^k＞2k.且3^k＞1.三式相加可得：3^（k+1)＞(k+1)².即当n=k+1时，仍有3^n＞n².∴.........