如图,△ABC是等边三角形,AE=CD,AD,BE相交于点P,BQ⊥AD于点Q.求证BP=2PQ.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 11:44:11
如图,△ABC是等边三角形,AE=CD,AD,BE相交于点P,BQ⊥AD于点Q.求证BP=2PQ.
如图,△ABC是等边三角形,AE=CD,AD,BE相交于点P,BQ⊥AD于点Q.求证BP=2PQ.
如图,△ABC是等边三角形,AE=CD,AD,BE相交于点P,BQ⊥AD于点Q.求证BP=2PQ.
因为AB=AC,AE=CD,∠BAE=∠ACD=60度
所以△BAE与△ACD是全等三角形
则：∠ABE=∠CAD
又∠AEB=∠PEA
所以：△BAE与△APE是相似三角形
则：∠APE=∠BAE=60度
所以：∠APE=∠BPQ=60度
则在Rt△BPQ中,∠PBQ=30度
因为：sin∠PBQ＝PQ/BP=1/2
所以：BP=2PQ
∴∠BAC=∠C=60°，AB=AC．
又∵AE=CD，∴△ABE≌△CAD（SAS）
∴∠ABE=∠CAD，BE=AD（全等三角形的对应角，对应边相等）
∵∠BPQ是△ABP的外角
∴∠BPQ=∠BAP＋∠ABE=∠BAP＋∠PAE=∠BAC=60°，
∵PQ⊥BQ
∴∠PBQ=30°．
又∵BQ⊥PQ，∴PB=2PQ
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首先通过边角边 证明△ABE全等于△CAD,则角ABE等于角CAD，角ADB等于60度加上角CAD，则角QBD等于30度减角CAD，那么角ABE加上角QBD等于30度，所以角PBQ等于30度，则BP=2PQ
在三角形BAE和ACD中，BA=AC,角BAE＝角ACD，AE=CD，所以两个三角形全等，所以角ABE=角CAD，
角BPQ=角ABE+角BAP＝角CAD+角BAP＝角BAC＝60度，
所以BP=2PQ
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAE=∠ACD=60°，
又∵AE=CD，
∴△BAE≌△ACD，
∴∠CAD=∠ABE，
∵∠BAE=∠CAD+∠BAD=60°，
∴∠BAE=∠ABE+∠BAD=60°，
∴∠BPQ=60°；
∵BQ⊥AD，
∴∠BQP=90°，
又∵∠BPQ=60°，
∴...
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证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAE=∠ACD=60°，
又∵AE=CD，
∴△BAE≌△ACD，
∴∠CAD=∠ABE，
∵∠BAE=∠CAD+∠BAD=60°，
∴∠BAE=∠ABE+∠BAD=60°，
∴∠BPQ=60°；
∵BQ⊥AD，
∴∠BQP=90°，
又∵∠BPQ=60°，
∴∠PBQ=30°，
∴BP=2PQ
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