满足条件AB=2AC=√2BC的三角形ABC的面积的最大值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/24 03:26:40
满足条件AB=2AC=√2BC的三角形ABC的面积的最大值
满足条件AB=2AC=√2BC的三角形ABC的面积的最大值
满足条件AB=2AC=√2BC的三角形ABC的面积的最大值
抄袭,谅解
方法一：
由余弦定理,有：
cosC＝（AC^2＋BC^2－AB^2）/（2AC×BC）＝（2BC^2＋BC^2－4）/（2√2BC^2）,
∴（cosC）^2＝［3/（2√2）－√2/BC^2］^2＝9/8－3/BC^2＋2/BC^4,
∴（sinC）^2＝1－（cosC）^2＝1－（9/8－3/BC^2＋2/BC^4）＝－1/8＋3/BC^2－2/BC^4,
∴sinC＝√（－1/8＋3/BC^2－2/BC^4）.
∴△ABC的面积
＝（1/2）AC×BCsinC＝（1/2）√2BC^2√（－1/8＋3/BC^2－2/BC^4）
＝（√2/2）√（－BC^4/8＋3BC^2－2）＝（√2/2√8）√（－BC^4＋24BC^2－16）
＝（1/4）√［128－（BC^4－24BC^2＋144）］＝（1/4）√［128－（BC^2－12）^2］.
显然,当BC^2－12＝0时,△ABC的面积有最大值为：（1/4）√128＝（1/4）√（64×2）＝2√2.
方法二：
设BC＝x,则AC＝√2x.
∴△ABC的半周长p＝（x＋√2x＋2）/2.
∴p－BC＝（x＋√2x＋2）/2－x＝（√2x＋2－x）/2,
p－AC＝（x＋√2x＋2）/2－√2x＝（x＋2－√2x）/2,
p－AB＝（x＋√2x＋2）/2－4＝（x＋√2x－2）/2.
∴p（p－AC）＝［（x＋2）^2－2x^2］/4＝（x^2＋4x＋4－2x^2）/4＝［4x－（x^2－4）］/4,
（p－BC）（p－AB）＝［2x^2－（x－2）^2］/4＝［4x＋（x^2－4）］/4.
∴p（p－AC）（p－BC）（p－AB）＝［16x^2－（x^2－4）^2］/16.
由海伦公式,有：
△ABC的面积
＝√［p（p－AC）（p－BC）（p－AB）］＝（1/4）√［16x^2－（x^2－4）^2］
＝（1/4）√（16x^2－x^4＋8x^2－16）＝（1/4）√（－x^4＋24x－16）
＝（1/4）√［128－（x^4－24x^2＋144）］＝（1/4）√［128－（x^2－12）^2］.
显然,当x^2－12＝0时,△ABC的面积有最大值为：（1/4）√128＝（1/4）√（64×2）＝2√2.
方法三：
以AB的中点为原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系,使点C在x轴的上方.
显然,A、B的坐标分别是（－1,0）、（1,0）.
令点C的坐标为（m,n）.则：△ABC的面积＝（1/2）｜AB｜n＝（1/2）×2n＝n.
∵｜AC｜＝√2｜BC｜,
∴√［（m＋1）^2＋（n－0）^2］＝√2×√［（m－1）^2＋（n－0）^2］,
∴（m＋1）^2＋n^2＝2（m－1）^2＋2n^2,
∴n^2＝（m＋1）^2－2（m－1）^2＝m^2＋2m＋1－2m^2＋4m－2＝－m^2＋6m－1
＝－（m^2－6m＋9）＋8＝－（m－3）^2＋8.
∴当m－3＝0时,n^2有最大值为8,∴n有最大值为2√2,即：△ABC的面积最大值为2√2.
三角形三边长度的关系确定了，那么三角形的形状也就确定了，不同的取值只不过是三角形的相似问题，面积也取决于边长，这个三角形面积可以无限的大。