已知向量a=(cos3x/2,sin3x/2),b(cosx/2,-sinx/2),且x∈[0,x/2],若函数f（x）=a*b-2λ|a+b|（接上）的最小值为-3/2,求λ的值.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/20 17:06:03
已知向量a=(cos3x/2,sin3x/2),b(cosx/2,-sinx/2),且x∈[0,x/2],若函数f（x）=a*b-2λ|a+b|（接上）的最小值为-3/2,求λ的值.
已知向量a=(cos3x/2,sin3x/2),b(cosx/2,-sinx/2),且x∈[0,x/2],若函数f（x）=a*b-2λ|a+b|
（接上）的最小值为-3/2,求λ的值.
已知向量a=(cos3x/2,sin3x/2),b(cosx/2,-sinx/2),且x∈[0,x/2],若函数f（x）=a*b-2λ|a+b|（接上）的最小值为-3/2,求λ的值.
∵向量a=(cos3x/2,sin3x/2),b(cosx/2,-sinx/2),
∴a●b=cos3x/2cosx/2-sin3x/2sinx/2=cos2x
|a|=|b|=1
∴|a+b|²=|a|²+|b|²+2a●b
=2+2cos2x=2(1+cos2x)=4cos²x
∵x∈[0,x/2],cosx≥0
∴|a+b|=2cosx
∴f(x)=cos2x-4λcosx
=2cos²x-4λcosx-1
=2(cosx-λ)²-2λ²-1
∵x∈[0,x/2],∴0≤cosx≤1
当λ1时,cosx=1,f(x)min=1-4λ
由1-4λ=-3/2得 λ=5/8舍去
∴λ的值为1/2
∵|a+b|²=|a|²+2ab+|b|²
=cos²(3x/2)+sin²(3x/2)+
2{cos(3x/2)*cos(x/2)+sin(3x/2)*[-sin(x/2)]}+
cos²(x...
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∵|a+b|²=|a|²+2ab+|b|²
=cos²(3x/2)+sin²(3x/2)+
2{cos(3x/2)*cos(x/2)+sin(3x/2)*[-sin(x/2)]}+
cos²(x/2)+sin²(x/2)
=1+2cos2x+1
=2(cos2x+1)
=4cos²x
又 x∈[0，π/2]
∴|a+b|=2cosx
函数f(x)=a*b-2λ|a+b|
=cos2x-4λcosx
=(2cos²x-1)-4λcosx
=2cos²x-4λcosx-1
=2(cosx-λ)²-2λ²-1
所以，当cosx=λ时，函数f(x)1取得最小值-3/2
即 -2λ²-1=-3/2
解，得 λ=±1/2
而 0≤cosx≤1
因此，λ=1/2
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