摆线方程x＝a（φ－sinφ）,y＝a（1－cosφ）y轴转后的体积?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 00:33:46
摆线方程x＝a（φ－sinφ）,y＝a（1－cosφ）y轴转后的体积?
摆线方程x＝a（φ－sinφ）,y＝a（1－cosφ）y轴转后的体积?
摆线方程x＝a（φ－sinφ）,y＝a（1－cosφ）y轴转后的体积?
计算旋转体体积,需要补充一个条件 0≤ φ ≤2π；
首先取体积微元,在 x=a（φ－sinφ) 处,x变化量为dx,形成的圆环面积为：
dS = 2πxdx,
圆环所在柱面体积：dV= y*dS =2πxydx
dx =d[a(φ－sinφ)] =a(1-cosφ)dφ
将x,y参数方程代入得：
dV =2π*[a(φ-sinφ)]*[a(1-cosφ)]*[a(1-cosφ)dφ]
=2π* a³ * (φ-sinφ)* (1-cosφ)² *dφ
V=[0, 2π]∫2π* a³ * (φ - sinφ)* (1- cosφ)² *dφ /**[0, 2π]表示积分上下限
作变换 u=φ-π,则 φ=u+π,dφ=du,原积分变为：
V=[-π, π]∫2π* a³ * [(u+π)-sin(u+π)]* [1-cos(u+π)]² *du /**注意积分限变化
=[-π, π]∫2π* a³ * [π+(u+sinu)]* (1+cosu)² *du
=[-π, π]∫2π² a³ * (1+cosu)² *du + [-π, π]∫2π* a³ * (u+sinu)* (1+cosu)² *du
积分的第二部分被积函数 (u+sinu)* (1+cosu)² 为奇函数,因此在[-π, π]上,积分=0
∴V=[-π, π]∫2π² a³ * (1+cosu)² *du
=[-π, π]∫2π² a³ * (1+2cosu+cos²u) *du
=[-π, π]∫2π² a³ * [1+2cosu+1/2(1+cos2u)] *du
=[-π, π]∫2π² a³ * 3/2 *du + [-π, π]∫2π² a³ * (2cosu+1/2 *cos2u) *du
=6π³a³ + 0 = 6π³a³
结论：一个周期内的摆线绕Y轴旋转形成的旋转体体积为6π³a³