用拉朗格日中值定理证明:若x>0,则x/1+x

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/25 12:13:27
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用拉朗格日中值定理证明:若x>0,则x/1+x
用拉朗格日中值定理证明:若x>0,则x/1+x

用拉朗格日中值定理证明:若x>0,则x/1+x
例3

你学拉氏定理了吗?同济教材上有相关例题,拉氏定理是一阶导实质是切线和割线的关系,记住所要满足的三条件。

先证明左边 x/(1+x)0, 则f(x) 在区间[0,c]上连续,且可导,倒数为f‘(x) = x/(1+x)^2。 利用拉格朗日定理,存在 z在区间(0,c),使等式
f(c) - f(0) = f'(z) × (c-0)成立。由于f(0) = 0, 所以有f(c) = f'(z) × c。又...

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先证明左边 x/(1+x)0, 则f(x) 在区间[0,c]上连续,且可导,倒数为f‘(x) = x/(1+x)^2。 利用拉格朗日定理,存在 z在区间(0,c),使等式
f(c) - f(0) = f'(z) × (c-0)成立。由于f(0) = 0, 所以有f(c) = f'(z) × c。又由于c > 0, 且对于任何z>0, 都有倒数f'(z) > 0, 所以f(c) > 0. 既 ln(1+c) - c/(1+c) > 0 =》 ln(1+c) > c/(1+c). 由于c是大于0的任意一点,将其换位x得证原命题。
原命题右边也可以用类似方法证明,自己可以试试。
祝学习顺利!

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