是否存在实数k和锐角α,使得sinα、cosα是方程4x^2-4kx+2k-1=0的两根,如果存在,求出k和α的值；如果不存在,请说明理由.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/24 01:26:06
是否存在实数k和锐角α,使得sinα、cosα是方程4x^2-4kx+2k-1=0的两根,如果存在,求出k和α的值；如果不存在,请说明理由.
是否存在实数k和锐角α,使得sinα、cosα是方程4x^2-4kx+2k-1=0的两根,如果存在,求出k和α的值；如果不存在,请说明理由.
是否存在实数k和锐角α,使得sinα、cosα是方程4x^2-4kx+2k-1=0的两根,如果存在,求出k和α的值；如果不存在,请说明理由.
∵Δ=16k²-16(2k-1）
=16k²-32k+16
=16(k-1)²≥0
∴原方程有两根.
若sinα、cosα是方程4x^2-4kx+2k-1=0的两根
则sinα+cosα=k
sinα*cosα=(2k-1）/4
得sin²α+cos²α+2sinα*cosα=k²
∴1+(2k-1）/2=k²
解得k=(1±√3)/2
∴原方程为4x²-2(1+√3)x+√3=0
或4x²-2(1-√3)x-√3=0
（2x-√3）（2x-1）=0
或(2x+√3)(2x-1）=0
得x1=√3/2,x2=1/2
或x1=-√3/2,x2=1/2
即锐角α=30º或60º
假设存在sinα、cosα是方程4x^2-4kx+2k-1=0的两根，根据韦达定理有：
sinα+cosα = -(-4k)/4=k......(1)
sinα cosα = (2k-1)/4......(2)
(sinα+cosα)^2=k^2
sin^2α+cos^2α+2sinα cosα=k^2
1+2(2k-1)/4=k^2
2k^2-2k...
全部展开
假设存在sinα、cosα是方程4x^2-4kx+2k-1=0的两根，根据韦达定理有：
sinα+cosα = -(-4k)/4=k......(1)
sinα cosα = (2k-1)/4......(2)
(sinα+cosα)^2=k^2
sin^2α+cos^2α+2sinα cosα=k^2
1+2(2k-1)/4=k^2
2k^2-2k-1=0
k = { 2±根号(4+4*2) } / (2*2) = (1±根号3)/2
∵α为锐角，sinα+cosα=k＞0
∴k=(1-根号3)/2＜0，不合题意，舍去
∴k=(1+根号3)/2
∴sinα+cosα=k=(1+根号3)/2
sinα cosα = (2k-1)/4 = (1+根号3-1)/4 = 根号3/4
sin2α=2sinα cosα = 根号3/2
2α=60°，或120°
α=30°，或60°
收起
由4x^2-4kx+2k-1=0
知△=16k^2-16(2k-1)
=16(k^2-2k+1)
=16(k-1)^2≥0
∴方程有两个不同或相同的根
由韦达定理知
sinα+cosα=k (1)
sinαcosα=(2k-1)/4 即sin2α=(2k-1)/2 (2)
(1)^2得k^2=1 k=1或-1
全部展开
由4x^2-4kx+2k-1=0
知△=16k^2-16(2k-1)
=16(k^2-2k+1)
=16(k-1)^2≥0
∴方程有两个不同或相同的根
由韦达定理知
sinα+cosα=k (1)
sinαcosα=(2k-1)/4 即sin2α=(2k-1)/2 (2)
(1)^2得k^2=1 k=1或-1
k=1时，sin2α=1/2
α为锐角，sin2α>0
2α=30° 或120° α=15°或60°
k=-1时，sin2α=-3/2 (不成立)
综上所述，k=1, α=15°或60°
收起