若函数f（x)在[0,1]上可导,且f(0）=0,f(1)=1.证明：在[0,1]上至少存在两个不同的点x1,x2.使[f'(x1)]+{f'(x2)]=2上面的是错的，是使[1/f'(x1)]+{1/f'(x2)]=2
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/25 04:04:08
若函数f（x)在[0,1]上可导,且f(0）=0,f(1)=1.证明：在[0,1]上至少存在两个不同的点x1,x2.使[f'(x1)]+{f'(x2)]=2上面的是错的，是使[1/f'(x1)]+{1/f'(x2)]=2
若函数f（x)在[0,1]上可导,且f(0）=0,f(1)=1.证明：在[0,1]上至少存在两个不同的点x1,x2.
使[f'(x1)]+{f'(x2)]=2
上面的是错的，是使[1/f'(x1)]+{1/f'(x2)]=2
若函数f（x)在[0,1]上可导,且f(0）=0,f(1)=1.证明：在[0,1]上至少存在两个不同的点x1,x2.使[f'(x1)]+{f'(x2)]=2上面的是错的，是使[1/f'(x1)]+{1/f'(x2)]=2
∵函数f（x)在[0,1]上可导∴函数f（x)在[0,1]上必连续
即函数f（x)在[0,1]上存在最大值及最小值
由f(0）=0,f(1)=1,不妨设最大值为f(1)=1,最小值为f(0）=0
则由介值定理知存在实数a∈[0,1],使得f(a)=1/2(由于1/2在[0,1]之间)
由题意可知f(x)在[0,a]上连续,在(0,a)上可导及f(x)在[a,1]上连续,在(a,1)上可导
由拉格朗日中值定理得
存在x1∈[0,a],x2∈[a,1],使得f'(x1)=[f(a)-f(0)]/(a-0)=1/2a
f'(x2)=[f(1)-f(a)]/(1-a)=1/2(1-a)
两式取倒数和得
[1/f'(x1)]+[1/f'(x2)]=2a+2(1-a)=2
即在[0,1]上至少存在两个不同的点x1,x2.使[1/f'(x1)]+[1/f'(x2)]=2
至于[f'(x1)]+[f'(x2)]=2也是成立的
∵f（x)在[0,1/2]上连续,在在(0,1/2)上可导及f（x)在[1/2,1]上连续及f（x)在(1/2,1)上可导
∴由拉格朗日中值定理得
存在x1∈[0,1/2],x2∈[1/2,1],使得f'(x1)=[f(1/2)-f(0)]/(1/2-0)=2f(1/2)
f'(x2)=[f(1)-f(1/2)]/(1-1/2)=2[1-f(1/2)]
两式相加得[f'(x1)]+{f'(x2)]=2[f(1/2)+1-f(1/2)]=2
即在[0,1]上至少存在两个不同的点x1,x2,使得[f'(x1)]+{f'(x2)]=2