已知函数f（x）=（bx+c）lnx在x=1 e 处取得极值,且在x=1处的切线的斜率为1．（Ⅱ）设p＞0,q＞0,g（x）=f（x）+x2,求证：5g（ 3p+2q5）≤3g（p）+2g（q）．第一问知b=1,c=0
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 20:01:47
已知函数f（x）=（bx+c）lnx在x=1 e 处取得极值,且在x=1处的切线的斜率为1．（Ⅱ）设p＞0,q＞0,g（x）=f（x）+x2,求证：5g（ 3p+2q5）≤3g（p）+2g（q）．第一问知b=1,c=0
已知函数f（x）=（bx+c）lnx在x=1 e 处取得极值,且在x=1处的切线的斜率为1．
（Ⅱ）设p＞0,q＞0,g（x）=f（x）+x2,求证：5g（
3p+2q5
）≤3g（p）+2g（q）．
第一问知b=1,c=0
已知函数f（x）=（bx+c）lnx在x=1 e 处取得极值,且在x=1处的切线的斜率为1．（Ⅱ）设p＞0,q＞0,g（x）=f（x）+x2,求证：5g（ 3p+2q5）≤3g（p）+2g（q）．第一问知b=1,c=0
（Ⅱ）先证5f(
3p+2q
5
)≤3f(p)+2f(q)
即证5
3p+2q
5
•ln
3p+2q
5
≤3plnp+2qlnq
即证3pln
3p+2q
5p
≤2qln
5q
3p+2q
,（6分）
令t＝
q
p
,∵p＞0,q＞0,∴t＞0,
即证ln
3+2t
5
≤
2t
3
•ln
5t
3+2t
令h(t)＝ln
3+2t
5
−
2t
3
•ln
5t
3+2t
,
则h(t)＝ln
3+2t
5
−
2
3
tln(5t)+
2t
3
ln(3+2t),
∴h′(t)＝
5
3+2t
•
2
5
−
2
3
ln(5t)−
2t
3
•
5
5t
+
2
3
ln(3+2t)+
2t
3
•
2
3+2t
=
2
3
ln
3+2t
5t
,（8分）
①当3+2t＞5t即0＜t＜1时,ln
3+2t
5t
＞0,即h'（t）＞0
h（t）在（0,1）上递增,∴h（t）＜h（1）=0,（9分）
②当3+2t＜5t,即t＞1时,ln
3+2t
5t
＜0,即h′（t）＜0,
h（t）在（1,+∞）上递减,
∴h（t）＜h（1）=0,（10分）
③当3+2t=5t,即t=1时,h（t）=h（1）=0,
综合①②③知h（t）≤0,
即ln
3+2t
5
≤
2t
3
•ln
5t
3+2t
,（11分）
即5f（
2p+3q
5
）≤3f（p）+2f（q）,
∵5•（
3p+2q
5
）2-（3p2+2q2）=
−6(p−q)2
5
≤0,
∴5•（
3p+2q
5
）2≤3p2+2q2,
综上,得5g（
3p+2q
5
）≤3g（p）+2g（q）．（12分）你是合肥的吗
对原函数求导数有f'(x)=b(lnx 1) c/x
因为当x=1/e时取极值，则有f'(1/e)=0，有：b(ln1/e 1) c/(1/e)=0，所以b(-1 1) ce=0，所以c=0
那么f'(x)=b(lnx 1)，又因为当x=1时f'(x)=1，则f'(1)=1，所以b(ln1 1)=1那么有b=1，那么f(x)=xlnx，f'(x)=lnx 1，有定义有x>0，因为函...
全部展开
对原函数求导数有f'(x)=b(lnx 1) c/x
因为当x=1/e时取极值，则有f'(1/e)=0，有：b(ln1/e 1) c/(1/e)=0，所以b(-1 1) ce=0，所以c=0
那么f'(x)=b(lnx 1)，又因为当x=1时f'(x)=1，则f'(1)=1，所以b(ln1 1)=1那么有b=1，那么f(x)=xlnx，f'(x)=lnx 1，有定义有x>0，因为函数在x=1/e处有极值，所以将定义域分为三段既(0,1/e);1/e;(1/e, ∞),又因为此函数导函数是由y=lnx向上平移一个单位而得到的，所以在(0,1/e)上f'(x)<0是f(x)的单调减区间『望采纳』
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