设x1,x2分别为关于x的一元二次方程ax^2+bx+c=0和-ax^2+bx+c=0的非零实根,且x1≠x2求证：方程（a/2)x^2+bx+c=0必有一根在x1与x2之间.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/25 17:17:41
设x1,x2分别为关于x的一元二次方程ax^2+bx+c=0和-ax^2+bx+c=0的非零实根,且x1≠x2求证：方程（a/2)x^2+bx+c=0必有一根在x1与x2之间.
设x1,x2分别为关于x的一元二次方程ax^2+bx+c=0和-ax^2+bx+c=0的非零实根,且x1≠x2
求证：方程（a/2)x^2+bx+c=0必有一根在x1与x2之间.
设x1,x2分别为关于x的一元二次方程ax^2+bx+c=0和-ax^2+bx+c=0的非零实根,且x1≠x2求证：方程（a/2)x^2+bx+c=0必有一根在x1与x2之间.
ax1^2+bx1+c=0
-ax2^2+bx2+c=0
所以-ax1^2=bx1+c
同理ax2^2=bx2+c
令f(x)=(a/2)x^2+bx+c
则f(x1)=ax1^2/2+bx1+c
f(x2)=ax2^2/2+bx2+c
把-ax1^2=bx1+c
ax2^2=bx2+c
代入得到
f(x1)=-a*x1^2/2
f(x2)=3ax2^2/2
因为x1,x2不等于0
所以x1^2>0,x2^2>0
一元二次方程
所以a^2>0
所以f(x1)*f(x2)
=-3a^2*x1^2*x2^2/4<0
即f(x1)和f(x2)一正一负
所以在x1与x2之间必有一点和x轴相交
所以必有一根在x1与x2之间
令f(x)=（a/2)x^2+bx+c
则f(x1)=（a/2)(x1)^2+bx+c=a(x1)^2+bx+c-a/2*(x1)^2=-a/2*(x1)^2
f(x2)=（a/2)(x2)^2+bx+c=-a(x2)^2+bx+c+3a/2*(x2)^2=3a/2*(x2)^2
f(x1)*f(x2)=-3a^2/4*(x1)^2(x2)^2<0 （因为a,x1,x2不等于0）
所以f(x)=0至少有一根在x1,x2之间
令f(x)=（a/2)x^2+bx+c
则f(x1)=（a/2)(x1)^2+bx+c=a(x1)^2+bx+c-a/2*(x1)^2=-a/2*(x1)^2
f(x2)=（a/2)(x2)^2+bx+c=-a(x2)^2+bx+c+3a/2*(x2)^2=3a/2*(x2)^2
f(x1)*f(x2)=-3a^2/4*(x1)^2(x2)^2<0 （因为a,x1,x2不等于0）