记数列An前n项积为Tn=1-An,记Cn=1/Tn.数列bn的前n项和为Sn且Sn=1-bn.（1）证明Cn是等差数列；（2）若Tn(nbn+n-2)≤kn对n属于正整数恒成立,求实数k的取值范围
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 10:23:14
记数列An前n项积为Tn=1-An,记Cn=1/Tn.数列bn的前n项和为Sn且Sn=1-bn.（1）证明Cn是等差数列；（2）若Tn(nbn+n-2)≤kn对n属于正整数恒成立,求实数k的取值范围
记数列An前n项积为Tn=1-An,记Cn=1/Tn.数列bn的前n项和为Sn且Sn=1-bn.（1）证明Cn是等差数列；（2）若Tn(nbn+n-2)≤kn对n属于正整数恒成立,求实数k的取值范围
记数列An前n项积为Tn=1-An,记Cn=1/Tn.数列bn的前n项和为Sn且Sn=1-bn.（1）证明Cn是等差数列；（2）若Tn(nbn+n-2)≤kn对n属于正整数恒成立,求实数k的取值范围
(1) n=1时 T1=1-a1=a1 a1=1/2
n=2时 T2=a1*a2=(1/2)a2=1-a2 a2=2/3
n=3时 T3=a1*a2*a3=(1/3)a3=1-a3 a3=3/4
假设当n=k时 ak=k/(k+1) Tk=1-ak 成立,
n=k+1时 T(k+1)=Tk*a(k+1)=(1-ak)*a(k+1)=[1/(k+1)]*a(k+1)=1-a(k+1)
a(k+1)=(k+1)/(k+2)
所以 an=n/(n+1) Tn=1-an=1/(n+1) Cn=n+1
(2)同理可得 bn=(1/2)^n
[1/(n+1)][n(1/2)^n+n-2]≤kn n(1/2)^n+n-2≤kn^2+kn n(1/2)^n≤kn^2+(k-1)n+2
(n+1)(1/2)^(n+1)-n(1/2)^n=(1-n)(1/2)^(n+1)≤0 且当n=1时相等 当n>1时 为减数列
所以n(1/2)^n在n=1或2时取得最大值 为1/2
kn^2+(k-1)n+2≥1/2 令f(n)=kn^2+(k-1)n+3/2≥0
①当k=0时 有-n+3/2≥0 只有n=1时成立 舍
②k>0 对称轴 -(k-1)/2k≤1 k≥1/3 f(1)=2k+1/2≥0 k≥-1/4
所以k≥1/3