将19分解成若干个自然数之和,怎样才能使它们的积为最大,求出这个最大的积,并简单说明有什么规律.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/02/08 08:15:47
将19分解成若干个自然数之和,怎样才能使它们的积为最大,求出这个最大的积,并简单说明有什么规律.
将19分解成若干个自然数之和,怎样才能使它们的积为最大,求出这个最大的积,并简单说明有什么规律.
将19分解成若干个自然数之和,怎样才能使它们的积为最大,求出这个最大的积,并简单说明有什么规律.
设任意整数为N,拆分的数字为x,这样所分的数字个数n=N/x,可列出：
y=x^(N/x) ,x^(N/x)表示x的(N/x)次方,y就是这n个相同的数字相乘的积.
两边取自然对数,得：lny=(N/x)*lnx,
两边对x求导数,(1/y)*y'=-N/x^2*lnx+(N/x)*(1/x)
化简得：y'=[N(1-lnx)*x^(N/x)]/x^2
为求驻点,令y'=0,得 1-lnx=0
就是：x=e=2.71828
可见分解成接近于e的自然数3时,积为最大,但包括1时可能不是最大,所以
19=5*3+2+2,19=6*3+1
3^5*2*2=972
3^6*1=729
就是19分解成5个3和2个2时乘积为最大.
最大应该是3 3 3 3 3 4 乘积为972
因为不论你分为几个数 这几个数值均分19时最大
注意到 分6个数为3 3 3 3 3 4 和分7个数时3 3 3 3 3 2 2时乘积相等
很明显这个分完再乘积的算法结果是先增大再减小的
故如此分最大
19=1+2*9 积2^9*1=512
19=3*6+1 积3^6*1=729
19=3*5+4 积3^5*4=972
19=5*3+4 积5^3*4=500
这个最大的积, 972
分成相差较小的几个数字之和，积最大
可以利用均值不等式。（具体上网查）
既然对个数没有明确的限制，不妨取俩种情况，一种分作9和10，另一种分作8个2和1个3。
容易看到后者较大，那就这么分吧。
19=3+3+3+3+3+2+2
4*3^5=972
分解出的最大自然数为3,最小自然数为3或2
显然，幂指数的增长速度快于乘积，而19里面可以包含9个2，6个3，4个4，3个5，2个8，故可以考察这几个，1*2^9=512，,1*3^6=729，,3*4^4=768,4*5^3=500,3*8^2=192，比较知，应选第二个，即分为19=3*6+1，