对数函数换底公式,是怎么样推理出来的
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/22 17:51:51
对数函数换底公式,是怎么样推理出来的
对数函数换底公式,是怎么样推理出来的
对数函数换底公式,是怎么样推理出来的
换底公式 log(a)(N)=log(b)(N) / log(b)(a) 推导如下：
N = a^[log(a)(N)] a = b^[log(b)(a)] 综合两式可得 N = {b^[log(b)(a)]}^[log(a)(N)] = b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]} 又因为N=b^[log(b)(N)] 所以 b^[log(b)(N)] = b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]} 所以 log(b)(N) = [log(a)(N)]*[log(b)(a)] 所以log(a)(N)=log(b)(N) / log(b)(a)
设logaN=x 则a的x次方等于N 两边取以b为底的的对数，则logbN=logb（A的x次方）=xlogbA=logaN乘于logbA 然后公式就出来了logaN等于logbA分之logbN
xlogbA=logb(A的x次方） 设logbA=x 则B的x次方等于A
设logb（a）的y次方等于z
因为logb（a）的y次方等于z B的x次方等于A 所以logb...
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设logaN=x 则a的x次方等于N 两边取以b为底的的对数，则logbN=logb（A的x次方）=xlogbA=logaN乘于logbA 然后公式就出来了logaN等于logbA分之logbN
xlogbA=logb(A的x次方） 设logbA=x 则B的x次方等于A
设logb（a）的y次方等于z
因为logb（a）的y次方等于z B的x次方等于A 所以logb（a）的y次方等于logb(B的x次方）的y次方等于z
因为logb(B的x次方）的y次方等于z
所以B的xy次方等于B的z次方
所以，xy等于logb(B的z次方）
因为x=logb(a)
所以，y乘以logbA等于logb(B的z次方)
所以 y乘以logbA等于logb(B的xy次方）等于logb(B的x次方的y次方） 因为B的x次方等于A等于y乘以logb(a)=logb(a的y次方) 这是保证你能看的懂的推理过程
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令y=log(b)a
则a=b^y
两边取以c为底的对数
log(c)a=log(c)b^y=ylog(c)b
所以y=log(b)a=log(c)a/log(c)b
把对数还原成幂的形式，利用幂的运算法则推理，然后再写成对数形式。
第一步，搞清对数，把对数还原成幂的形式:
记若x=log(a)b 【以a为底b的对数】
y=log(a)c【以a为底c的对数】
还原成幂的形式，有
b=a^x,c=a^y
第二步,利用幂的运算法则推理:
于是b=(a^y)^(x/y)=c^(x/y)
第三步，写成对数形...
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把对数还原成幂的形式，利用幂的运算法则推理，然后再写成对数形式。
第一步，搞清对数，把对数还原成幂的形式:
记若x=log(a)b 【以a为底b的对数】
y=log(a)c【以a为底c的对数】
还原成幂的形式，有
b=a^x,c=a^y
第二步,利用幂的运算法则推理:
于是b=(a^y)^(x/y)=c^(x/y)
第三步，写成对数形式：
因此x/y = log(b)c ,这就是换底公式。
收起
设log(a)b=x,则ax次方=b
两边取以c为底的对数，得：log(c)ax次方=log(c)b
进而推出xlog(c)a=log(c)b(因为公式三）
所以x=log(c)b/log(c)a,即log(a)b=log(c)b/log(c)a
注：公式成立条件a>0,a不为1,b>0,c>0，c不为1
重点：化异为同