证明：任意两个整数的积等于其最大公约数和最小公倍数的积
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/12 05:06:45
证明：任意两个整数的积等于其最大公约数和最小公倍数的积
证明：任意两个整数的积等于其最大公约数和最小公倍数的积
证明：任意两个整数的积等于其最大公约数和最小公倍数的积
这种问题太基础了,证法很多,先举两种：
法一：设(a,b)=c,则a=cm,b=cn且(m,n)=1则[a,b]=mnc
所以(a,b)[a,b]=c*mnc=mnc^2=ab
法二：对a,b进行标准分解
a=p1^s1*p2^s2*……*pn^sn
b=p1^t1*p2^s2*……*pn^tn
p1,……,pn为质数,s1,s2,……,sn,t1,t2,……,tn为非负整数
则有(a,b)=p1^min{s1,t1}*p2^min{s2,t2}*……*pn^min{sn,tn}
[a,b]=p1^max{s1,t1}*p2^max{s2,t2}*……*pn^max{sn,tn}
因为sk*tk=min{sk,tk}*max{sk,tk}对k=1,2,……,n都成立
所以有(a,b)[a,b]=p1^(s1+t1)*……*pn^(sn+tn)=ab
证毕.
其实他回答的已经几乎正确了
我来补充点点:
(1)若两整数互质 则:最大公约数为1 最小公倍数为两数之积 成立!
(2)若两整数A,B不互质,令最大公约数为C
则必有:A=nC B=mC n,m为整数 易知最小公倍数为:n*m*C
显然 成立
修改一楼的说法是:不是2数均为质数 而是两数互质 比如8和9...
全部展开
其实他回答的已经几乎正确了
我来补充点点:
(1)若两整数互质 则:最大公约数为1 最小公倍数为两数之积 成立!
(2)若两整数A,B不互质,令最大公约数为C
则必有:A=nC B=mC n,m为整数 易知最小公倍数为:n*m*C
显然 成立
修改一楼的说法是:不是2数均为质数 而是两数互质 比如8和9
收起
证明：（1）若两整数都为质数 最大公约数为1 最小公倍数为两数乘积成立（2）若有且仅有一整数为质数 同（1）
（3）若为两个合数p1 p2 则p1=a1×a2×。。。an×c1×c2×。。。cp
p2=b1×b2×。。。×bm×c1×c2×。。。cp
a1 a2.。。an b1 b2.。。bn c1 c2 。。。cp 互质
所以两数的最小公倍数为a1×a2×。。。a...
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证明：（1）若两整数都为质数 最大公约数为1 最小公倍数为两数乘积成立（2）若有且仅有一整数为质数 同（1）
（3）若为两个合数p1 p2 则p1=a1×a2×。。。an×c1×c2×。。。cp
p2=b1×b2×。。。×bm×c1×c2×。。。cp
a1 a2.。。an b1 b2.。。bn c1 c2 。。。cp 互质
所以两数的最小公倍数为a1×a2×。。。an×b1×b2×。。。。。bn×c1×c2.。。×cp
最大公约数为c1×c2×。。。cp
得证
收起