已知数列 {an}中,a1=2,an+1(n+1是a的下标)=(√2 -1)(an+2),n∈N*,求数列{an}的通项公式

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/24 21:09:49
已知数列{an}中,a1=2,an+1(n+1是a的下标)=(√2-1)(an+2),n∈N*,求数列{an}的通项公式已知数列{an}中,a1=2,an+1(n+1是a的下标)=(√2-1)(an+

已知数列 {an}中,a1=2,an+1(n+1是a的下标)=(√2 -1)(an+2),n∈N*,求数列{an}的通项公式
已知数列 {an}中,a1=2,an+1(n+1是a的下标)=(√2 -1)(an+2),n∈N*,求数列{an}的通项公式

已知数列 {an}中,a1=2,an+1(n+1是a的下标)=(√2 -1)(an+2),n∈N*,求数列{an}的通项公式
    其实对于解这种类型的数列通项公式,我们需要把所给的等式变形成我们熟悉的数列类型,方法如下:(觉得我下面那方法对你解这类题有触动的话就顶顶啦)
     对数列等式:An+1=[2^(1/2)~1](An+2) 两边同时除以[2^(1/2)~1]^(n+1) 可化简为:
                    An+1/[2^(1/2)~1]^(n+1)=An/[2^(1/2)~1]^n  +  2/[2^(1/2)~1]^n
                 令Bn=An/[2^(1/2)~1]^n ,则有B1=A1/[2^(1/2)~1]=2[2^(1/2)+1]
               则关于数列 {An}的等式就转换为我们熟悉的数列 {Bn},即:
               Bn+1=Bn +  2/[2^(1/2)~1]^n
             则有(Bn+1)~ (Bn ) =2/[2^(1/2)~1]^n
    由裂项求和方法有:
     Bn=(Bn~Bn-1)+(Bn-1~Bn-2)+.+(B3~b2)+(B2~B1)+B1
        =2/[2^(1/2)~1]^(n-1)+ 2/[2^(1/2)~1]^(n-2)+ 2/[2^(1/2)~1]^(n-3)+ .+2/[2^(1/2)~1] 
^2 + 2/[2^(1/2)~1 ]+  2[2^(1/2)+1]
 
       =2^(1/2).{1 + [2^(1/2)+1]/[[2^(1/2)~1]^(n-2) }
 所以有An=Bn.[2^(1/2)~1]^n 
               =[2    2^(1/2)][2^(1/2)~1]^(n-1) +1]
下面给出图片让你更好的看懂


 
       
 
       

an=√2[(√2-1)^n+1]