几道高二数学题（柯西不等式） 1.已知正数x,y,z满足x+y+z=1,求4^x+4^y+4^(z^2)的最小值2.已知正实数a,b,c满足a+b+c=1（1）若根号（a+1/2）+根号（b+1/3）+根号（c+1/4）=5/2,求a,b,c的值（2）求（a+1/a）^2+(b+

几道高二数学题（柯西不等式） 1.已知正数x,y,z满足x+y+z=1,求4^x+4^y+4^(z^2)的最小值2.已知正实数a,b,c满足a+b+c=1（1）若根号（a+1/2）+根号（b+1/3）+根号（c+1/4）=5/2,求a,b,c的值（2）求（a+1/a）^2+(b+
几道高二数学题（柯西不等式）
1.已知正数x,y,z满足x+y+z=1,求4^x+4^y+4^(z^2)的最小值
2.已知正实数a,b,c满足a+b+c=1
（1）若根号（a+1/2）+根号（b+1/3）+根号（c+1/4）=5/2,求a,b,c的值
（2）求（a+1/a）^2+(b+1/b)^2+(c+1/c)^2的最小值
3.设x＞0,y＞0,z＞0,且x^2+y^2+z^2=1
(1)求证（x^2)/(1+9yz)+（y^2)/(1+9xz)+(z^2)/(1+9xy)≥1/4
（2）yz/x+xz/y+xy/z的最小值
4.设正数x,y,z满足3x+4y+5z=1
(1)求证：x^2+y^2+z^2≥1/50
（2）求1/(x+y)+1/(y+z)+1/(z+x)的最小值

几道高二数学题（柯西不等式） 1.已知正数x,y,z满足x+y+z=1,求4^x+4^y+4^(z^2)的最小值2.已知正实数a,b,c满足a+b+c=1（1）若根号（a+1/2）+根号（b+1/3）+根号（c+1/4）=5/2,求a,b,c的值（2）求（a+1/a）^2+(b+
第一题
4^X+4^Y+4^(Z^2)=4^((x+y+z-z+z^2)=4^((x+y+z)+z^2-z)=4^(1+z^2-z)
因为4^x为单调递增函数,当z=1/2时,
1+z^2-z有最小值3/4,即原函数有最小值4^(3/4)
第三题
证明：由柯西不等式：
[(1+9xy)+(1+9yz)+(1+9zx)][x^2/(1+9xy)+y^2/(1+9yz)+z^2/(1+9zx)]>=(x+y+z)^2
上式也即x^2/(1+9xy)+y^2/(1+9yz)+z^2/(1+9zx)]>=(x+y+z)^2/[3+9(xy+yz+zx)]
注意到：因为x^2+y^2+z^2=1,所以(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)=1+2(xy+yz+zx)
于是x^2/(1+9xy)+y^2/(1+9yz)+z^2/(1+9zx)]>=[1+2(xy+yz+zx)]/[3+9(xy+yz+zx)]
只要证明[1+2(xy+yz+zx)]/[3+9(xy+yz+zx)]>=1/4即可
化简后上式等价于：xy+yz+zx<=1
由于x^2+y^2+z^2=1,所以上式可齐次化为:
xy+yz+xz<=x^2+y^2+z^2
<=>(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2>=0
显然成立.
于是原不等式得证.
第二小问
设m=y/x,y=mx,则m为正实数
x^+m^x^+z^=1
x^=(1-z^)/(m^+1)
设k=yz/x+xz/y+xy/z,k为正实数,则
k=mz+z/m+mx^/z
=z(m+1/m)+m(1-z^)/(z(m^+1))
kz=z^(m+1/m)+m/(m^+1)-mz^/(m^+1)
z^(m+1/m-m/(m^+1))-kz+m/(m^+1)=0
因为此方程式z有解则有
k^-4[m+1/m-m/(m^+1)][m/(m^+1)]>=0
k^>=4[m+1/m-m/(m^+1)]m/(m^+1)
k^>=4(m^4+m^+1)/(m^+1)^
k^>=4[3/4(m^+1)^+1/4(m^-1)^]/(m^+1)^
k^>=3+[(m^-1)/(m^+1)]^
k^≥3
k≥根3或k≤-根3
但由于k 为正实数,所以k≥3即
yz/x+xz/y+xy/z≥根3
第四题
(1/50)(x^2+y^2+z^2)(3^2+4^2+5^2)≥(1/50)(3x+4y+5z)^2=1/50
[1/（x+y)+1/(y+z)+1/(z+x)]*[(x+y)+(3y+3z)+(2z+2x)]
≥(1+√3+√2)^2 柯西不等式:(a^2+b^2+c^2)(d^2+e^2+f^2)≥(ad+be+cf)^2
打了很多字```望采纳```望加分```第二题不会做```努力了`