排序不等式 证(a1a2)/a3+(a2a3)/a1+(a3a1)/a2≥a1+a2+a3现场等a1 a2 a3 为正数 请提供两种解题方法
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/11 19:14:48
排序不等式 证(a1a2)/a3+(a2a3)/a1+(a3a1)/a2≥a1+a2+a3现场等a1 a2 a3 为正数 请提供两种解题方法
排序不等式 证(a1a2)/a3+(a2a3)/a1+(a3a1)/a2≥a1+a2+a3
现场等
a1 a2 a3 为正数 请提供两种解题方法
排序不等式 证(a1a2)/a3+(a2a3)/a1+(a3a1)/a2≥a1+a2+a3现场等a1 a2 a3 为正数 请提供两种解题方法
不失一般性,设a1≥a2≥a3,则
1/a3≥1/a2≥1/a1,
a1a2≥a1a3≥a2a3,
则排序不等式的性质有
(a1a2)/a3+(a2a3)/a1+(a3a1)/a2≥a1a2*1/a2+a1a3*1/a1+a2a3*1/a3=a1+a2+a3.
证毕.
把 所有 项合并成一项，肯定可以证明。 不等式两边同乘a1*a2 *a3 实际上原理和上种方法一样，但形式 明显不同。
a
不妨假设a1≥a2≥a3,则
1/a3≥1/a2≥1/a1,
a1a2≥a1a3≥a2a3,
则排序不等式的性质正序大于乱序有
(a1a2)/a3+(a2a3)/a1+(a3a1)/a2≥a1a2*1/a2+a1a3*1/a1+a2a3*1/a3=a1+a2+a3.
或者原不等式转化为证明
（a1a2）^2+(a2a3)^2+(a3a1)^2...
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不妨假设a1≥a2≥a3,则
1/a3≥1/a2≥1/a1,
a1a2≥a1a3≥a2a3,
则排序不等式的性质正序大于乱序有
(a1a2)/a3+(a2a3)/a1+(a3a1)/a2≥a1a2*1/a2+a1a3*1/a1+a2a3*1/a3=a1+a2+a3.
或者原不等式转化为证明
（a1a2）^2+(a2a3)^2+(a3a1)^2≥a1a2a3(a1+a2+a3)
a1a2≥a1a3≥a2a3,a1a2≥a1a3≥a2a3，同样由正序最大有
（a1a2）^2+(a2a3)^2+(a3a1)^2≥a1a2a3a1+a3a2a1a2+a1a3a2a3=a1a2a3(a1+a2+a3)
证毕！
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