一道关于排序不等式的题目设a1,a2,a3为正数,求证：(a1*a2)/a3+(a2*a3)/a1+(a3*a1)/a2≥a1+a2+a3这题是课后练习的第三题,
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 14:02:22
一道关于排序不等式的题目设a1,a2,a3为正数,求证：(a1*a2)/a3+(a2*a3)/a1+(a3*a1)/a2≥a1+a2+a3这题是课后练习的第三题,
一道关于排序不等式的题目
设a1,a2,a3为正数,求证：(a1*a2)/a3+(a2*a3)/a1+(a3*a1)/a2≥a1+a2+a3
这题是课后练习的第三题,
一道关于排序不等式的题目设a1,a2,a3为正数,求证：(a1*a2)/a3+(a2*a3)/a1+(a3*a1)/a2≥a1+a2+a3这题是课后练习的第三题,
不妨设
a1≥a2≥a3
则a1a2≥a1a3≥a2a3
(a1*a2)/a3+(a2*a3)/a1+(a3*a1)/a2≥a1+a2+a3
即证(a1a2)^2+(a2a3)^2+(a1a3^2)≥(a1+a2+a3)a1a2a3
(a1a2)^2+(a2a3)^2+(a1a3)^2≥a1^2a2a3+a1a2^2a3+a1a2a3^2
同序和≥乱序和
(a1a2)^2+(a2a3)^2+(a1a3)^2≥a1a2*a1a3+a1a2*a2a3+a1a3*a2a3
即(a1a2)^2+(a2a3)^2+(a1a3)^2≥a1^2a2a3+a1a2^2a3+a1a2a3^2
则原不等式得证
左边通分啊，通分了就好处理了啊。
我用a,b,c代替a1,a2,a3吧，因为书写太不方便了
a,b,c为正数，两边乘2abc得
2*a^2*b^2+2*b^2*c^2+2*c^2*a^2≥2a^2*bc+2b^2*ac+2c^2*ab
可化成（a^2*b^2+c^2*a^2）+（a^2*b^2+b^2*c^2）+（b^2*c^2+c^2*a^2）≥2a^2*bc+2b^2*ac+2c^2*ab
可化...
全部展开
我用a,b,c代替a1,a2,a3吧，因为书写太不方便了
a,b,c为正数，两边乘2abc得
2*a^2*b^2+2*b^2*c^2+2*c^2*a^2≥2a^2*bc+2b^2*ac+2c^2*ab
可化成（a^2*b^2+c^2*a^2）+（a^2*b^2+b^2*c^2）+（b^2*c^2+c^2*a^2）≥2a^2*bc+2b^2*ac+2c^2*ab
可化成a^2(b^2+c^2)+b^2(a^2+c^2)+c^2(a^2+b^2)≥2a^2*bc+2b^2*ac+2c^2*ab
因为a^2+b^2≥2ab
所以得证。
表述得不是太好，希望能看得明白
收起