.如图,E是矩形ABCD边CB延长线上一点,CE=CA,F是AE的中点.求证:BF⊥FD
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 22:36:08
.如图,E是矩形ABCD边CB延长线上一点,CE=CA,F是AE的中点.求证:BF⊥FD
.如图,E是矩形ABCD边CB延长线上一点,CE=CA,F是AE的中点.求证:BF⊥FD
.如图,E是矩形ABCD边CB延长线上一点,CE=CA,F是AE的中点.求证:BF⊥FD
连接CF因为AC=CE,F是AE中点,所以CF⊥AE,BF为直角三角形AEB斜边中线,所以AF=FB,AD=BC,易证FD=FC所以三角形AFD全等于三角形BFC,所以角AFD=角BFC,所以角DFB=角DFC+角CFB=角DFC+角AFD=角AFC=90度,所以BF⊥FD
证明:过F做FG‖AD,连接CF。
在直角梯形ADCE中,
∵FG‖AD,F为AE的中点
∴G点为CD的中点,且FG⊥CD
∴FD=FC,∠FDC=∠FCD(垂直平分线的性质)
又∵∠ADC=∠BCD=90°(矩形的性质),即∠FDC+∠ADF=∠FCD+∠BCF=90°
∴∠ADF=∠BCF(等式的性质)
又∵AD=BC(矩形的性质)
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证明:过F做FG‖AD,连接CF。
在直角梯形ADCE中,
∵FG‖AD,F为AE的中点
∴G点为CD的中点,且FG⊥CD
∴FD=FC,∠FDC=∠FCD(垂直平分线的性质)
又∵∠ADC=∠BCD=90°(矩形的性质),即∠FDC+∠ADF=∠FCD+∠BCF=90°
∴∠ADF=∠BCF(等式的性质)
又∵AD=BC(矩形的性质)
∴△ADF≌△BCF(SAS)
∴∠AFD=∠BFC(全等三角形对应角相等)
在三角形ACE中,AC=CE,点F为AE的中点(已知)
∴CF⊥AE(等角三角形的性质)
即:∠AFD+∠CFD=∠BFC+∠BFE=90°
∵∠AFD=∠BFC(已证)
∴∠CFD+∠BFC=∠BFD=90°(等量代换)
即:BF⊥FD
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证明:延长BF,交DA的延长线于点M,连接BD,
∵四边形ABCD是矩形,
∴MD∥BC,
∴∠AMF=∠EBF,∠E=∠MAF
又∵F是AE的中点
∴AF=EF
∴△AFM≌△EFB,
∴AM=BE,FB=FM,
∵矩形ABCD中,
∴AC=BD,AD=BC,
∴BC+BE=AD+AM,即CE=MD,
∵CE...
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证明:延长BF,交DA的延长线于点M,连接BD,
∵四边形ABCD是矩形,
∴MD∥BC,
∴∠AMF=∠EBF,∠E=∠MAF
又∵F是AE的中点
∴AF=EF
∴△AFM≌△EFB,
∴AM=BE,FB=FM,
∵矩形ABCD中,
∴AC=BD,AD=BC,
∴BC+BE=AD+AM,即CE=MD,
∵CE=AC,
∴AC=BD=DM,
∵FB=FM,
∴BF⊥DF.
收起