判断级数∑1/[(n+1)(2n+3)]的敛散性
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 10:36:29
判断级数∑1/[(n+1)(2n+3)]的敛散性
判断级数∑1/[(n+1)(2n+3)]的敛散性
判断级数∑1/[(n+1)(2n+3)]的敛散性
1/((n+1)(2n+3))<1/(n(n+1))=1/n-1/(n+1)
∑1/((n+1)(2n+3))<∑[1/n-1/(n+1)]<=1
级数收敛
显然收敛.
方法很多啊,常用的,比较判别法的极限形式.
令an=1/[(n+1)(2n+3)]
对an/(1/n^2)取极限n趋于无穷大,可以知道lim[an/(1/n^2)]=1/2,
即与∑1/n^2收敛性相同,故收敛.
其他的,
n+1>n,2n+3>n,所以0
1/((n+1)(2n+3))<1/(n(n+1))=1/n-1/(n+1)
∑1/((n+1)(2n+3))<∑[1/n-1/(n+1)]
展开个∑[1/n-1/(n+1)]给你看
u1=1-1/2
u2=1/2-1/3
u3=1/3-1/4
........
所以∑[1/n-1/(n+1)]=1-(1/2)+(1/2)-(1/3)...
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1/((n+1)(2n+3))<1/(n(n+1))=1/n-1/(n+1)
∑1/((n+1)(2n+3))<∑[1/n-1/(n+1)]
展开个∑[1/n-1/(n+1)]给你看
u1=1-1/2
u2=1/2-1/3
u3=1/3-1/4
........
所以∑[1/n-1/(n+1)]=1-(1/2)+(1/2)-(1/3)+(1/3)-(1/4)+1/4....-(1/n+1)=1
即∑1/((n+1)(2n+3))<∑[1/n-1/(n+1)]=1
所以收敛
收起
显然收敛,调和级数的分母是自然数数列,∑1/n^p,只要p大于1就收敛,本题的P等同于2,
故收敛.
本题的结果是 (5-3Ln[4])/3