求助复变函数在扩充复平面上,集{z|4<|z|<+∞}及集{z|4<|z|<=+∞}分别是多连通及单连通的无界区域,其边界分别是{z||z|=4}∪{∞}及{z||z|=4}前句的后者和后句的
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/26 21:19:04
求助复变函数在扩充复平面上,集{z|4<|z|<+∞}及集{z|4<|z|<=+∞}分别是多连通及单连通的无界区域,其边界分别是{z||z|=4}∪{∞}及{z||z|=4}前句的后者和后句的
求助复变函数
在扩充复平面上,集{z|4<|z|<+∞}及集{z|4<|z|<=+∞}分别是多连通及单连通的无界区域,其边界分别是{z||z|=4}∪{∞}及{z||z|=4}
前句的后者和后句的前者不明白,望大大们帮帮忙,谢谢!
求助复变函数在扩充复平面上,集{z|4<|z|<+∞}及集{z|4<|z|<=+∞}分别是多连通及单连通的无界区域,其边界分别是{z||z|=4}∪{∞}及{z||z|=4}前句的后者和后句的
扩充复平面和球面通过球极投影一一对应,0对应于南极,无穷大对应于北极.
第一个集合相当于在球面上挖掉北极和南极圈.
第二个集合相当于只挖掉南极圈.
在第一个集合中,赤道不能连续收缩为一点,而在第二个中可以.所以第一个不是单连通的.
边界显然啊.
怎么分开来不明白的。。。上面的条件 下面的结论
这里涉及到无穷远点,可以利用函数f(z)=1/z把无穷原点变成0点,然后就清楚了
因为f(z)=1/z是连续单射,它并不会改变集合的连通性
第一个集合在f(z)的作用下就变成了{z|0<|z|<1/4},这是多连通的,边界为{0}∪{z||z|=1/4},还原到原像就知道原集合是多连通的,边界为{z||z|=4}∪{∞}。后者类似
也可以将扩充复平面对应到Riemann球面...
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这里涉及到无穷远点,可以利用函数f(z)=1/z把无穷原点变成0点,然后就清楚了
因为f(z)=1/z是连续单射,它并不会改变集合的连通性
第一个集合在f(z)的作用下就变成了{z|0<|z|<1/4},这是多连通的,边界为{0}∪{z||z|=1/4},还原到原像就知道原集合是多连通的,边界为{z||z|=4}∪{∞}。后者类似
也可以将扩充复平面对应到Riemann球面上,然后在Riemann球面上讨论其连通性及边界
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