一道高中数学题(求过程)已知AB.CD是圆O的弦,且AB垂直CD于M,OH垂直AD于H.求证OH=1/2BC
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/17 08:51:01
一道高中数学题(求过程)已知AB.CD是圆O的弦,且AB垂直CD于M,OH垂直AD于H.求证OH=1/2BC
一道高中数学题(求过程)
已知AB.CD是圆O的弦,且AB垂直CD于M,OH垂直AD于H.求证OH=1/2BC
一道高中数学题(求过程)已知AB.CD是圆O的弦,且AB垂直CD于M,OH垂直AD于H.求证OH=1/2BC
既然是高中的题目,那就不是要求用平面几何的知识做.
证：
分别用a、b、c、d表示向量OA、OB、OC、OD,不妨设圆O为单位圆,则|a|=|b|=|c|=|d|=1,即a^2=b^2=c^2=d^2=1.H为AD中点,所以OH=1/2*(a+d).
由圆内角定理,∠AMD=1/2*(∠BOC+∠AOD),
（∠AMD=∠ABD+∠BDM=∠ABD+∠BDC=1/2*∠AOD+1/2*∠BOC）
因为AB⊥CD,即∠BMC=π/2,故π=∠BOC+∠AOD,
所以cos∠BOC+cos∠AOD=0, ……①
因为a·d=2*|a|*|d|*cos∠AOD=2*cos∠AOD,
同理b·c=2*cos∠BOC,
由①式得,a·d+b·c=0. ……②
|OH|=1/2*|BC|
<=> 4*|OH|^2=|BC|^2
<=> 4*OH^2=BC^2
<=> (a+d)^2=(c-b)^2
<=> (a+d)·(a+d)=(c-b)·(c-b)
<=> a^2+d^2+2*a·d=b^2+c^2-2*b·c
<=> a·d=-b·c （a^2=b^2=c^2=d^2=1）
<=> a·d+b·c=0,
由②知,这是成立的.
证毕.
也可以用三角函数的方法.
设A(cos θ1, sin θ1)、B(cos θ2, sin θ2)、C(cos θ3, sin θ3)、D(cos θ4, sin θ4),
H=1/2*(A+D)=1/2*(cos θ1+cos θ4, sin θ4+sin θ1)=,
|OH|^2=1/4*(cos θ1+cos θ4)^2+1/4*(sin θ4+sin θ1)^2=1/2*(1+cos(θ1-θ4)),
由余弦定理,|BC|^2=2-2*cos(θ2-θ3),（如果不愿意用余弦定理,可以现算出向量BC,再求出|BC|^2,化简后结果一样）
|OH|=1/2*|BC|
<=> 4*|OH|^2=|BC|^2
<=> 4*OH^2=BC^2
<=> 2*(1+cos(θ1-θ4))=2-2*cos(θ2-θ3)
<=> cos(θ1-θ4)=-cos(θ2-θ3)
<=> cos(θ1-θ4)+cos(θ2-θ3)=0
<=> 存在k,使得 |θ1-θ4|+|θ2-θ3|=2kπ+π,
由圆内角定理,π/2=∠AMD=1/2*(∠BOC+∠AOD),即π=∠BOC+∠AOD,即
|θ1-θ4|+|θ2-θ3|=π.
于是原命题得证.
如果不愿意用圆内角定理,可以直接通过三角知识来证.
向量BA=(cos θ1-cos θ2, sin θ1-sin θ2)=2*sin((θ1-θ2)/2)*(sin((θ1+θ2)/2), cos((θ1+θ2)/2)),
DC=(cos θ3-cos θ4, sin θ3-sin θ4)=2*sin((θ3-θ4)/2)*(sin((θ3+θ4)/2), cos((θ3+θ4)/2)),
由于BA、DC不为0向量,所以2*sin((θ1-θ2)/2)≠0,2*sin((θ3-θ4)/2)≠0,
因为AB⊥CD,所以BA·DC=0,故
sin((θ1+θ2)/2)*sin(θ3+θ4)/2)+cos((θ1+θ2)/2)*cos((θ3+θ4)/2)=0,
即cos[(θ1+θ2)/2-(θ3+θ4)/2]=0,
cos[(θ1-θ4)/2+(θ2-θ3)/2]=0,
(θ1-θ4)/2+(θ2-θ3)/2=kπ+π/2,
(θ1-θ4)+(θ2-θ3)=2kπ+π,
得证.