已知a+b+c=0,a平方+b平方+c平方=1,求a四次方+b四次方+c四次方等于多少
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/22 15:05:45
已知a+b+c=0,a平方+b平方+c平方=1,求a四次方+b四次方+c四次方等于多少
已知a+b+c=0,a平方+b平方+c平方=1,求a四次方+b四次方+c四次方等于多少
已知a+b+c=0,a平方+b平方+c平方=1,求a四次方+b四次方+c四次方等于多少
a+b+c=0
(a+b+c)²=0
a²+b²+c²=1
2(ab+ac+bc)=-1
ab+ac+bc=-1/2
(ab+ac+bc)²=1/4
a²b²+a²c²+b²c²+2(a²bc+b²ac+c²ab)=1/4
a²b²+a²c²+b²c²+2abc(a+b+c)=1/4
2(a²b²+a²c²+b²c²)=1/2
(a²+b²+c²)²=1
原式=1-1/2=1/2
(a^2+b^2+c^2)^2=a^4+b^4+c^4+2a^2*b^2+2b^2*c^2+2c^2*a^2；
其中2a^2*b^2+2b^2*c^2+2c^2*a^2
=a^2*(b^2+c^2)+b^2*(c^2+a^2)+c^2*(a^2+b^2)
=a^2*((b+c)^2-2bc)+b^2*((c+a)^2-2ac)+c^2*((a+b)^2-2ab)
全部展开
(a^2+b^2+c^2)^2=a^4+b^4+c^4+2a^2*b^2+2b^2*c^2+2c^2*a^2；
其中2a^2*b^2+2b^2*c^2+2c^2*a^2
=a^2*(b^2+c^2)+b^2*(c^2+a^2)+c^2*(a^2+b^2)
=a^2*((b+c)^2-2bc)+b^2*((c+a)^2-2ac)+c^2*((a+b)^2-2ab)
=a^2*((-a)^2-2bc)+b^2*((-b)^2-2ac)+c^2*((-c)^2-2ab)
=a^4+b^4+c^4-2abc*(a+b+c)
=a^4+b^4+c^4；
所以(a^2+b^2+c^2)^2=2(a^4+b^4+c^4)
a^4+b^4+c^4=1/2(a^2+b^2+c^2)^2=1/2
收起