曲面积分计算问题(高斯定理的利用)计算曲面面积I = ∫∫2x^3dydz+2y^3dzdx+3(z^2-1)dxdy∑其中∑是曲面z=1-x^2-y^2(z>=0)的上侧 我想知道第一次运用高斯定理之后的三重积分如何作!仰望的思路正确
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 12:31:56
曲面积分计算问题(高斯定理的利用)计算曲面面积I = ∫∫2x^3dydz+2y^3dzdx+3(z^2-1)dxdy∑其中∑是曲面z=1-x^2-y^2(z>=0)的上侧 我想知道第一次运用高斯定理之后的三重积分如何作!仰望的思路正确
曲面积分计算问题(高斯定理的利用)
计算曲面面积
I = ∫∫2x^3dydz+2y^3dzdx+3(z^2-1)dxdy
∑
其中∑是曲面z=1-x^2-y^2(z>=0)的上侧
我想知道第一次运用高斯定理之后的三重积分如何作!
仰望的思路正确,不过三重积分的结果有问题,还有就是dxdy的平面面积是π(2π是周长)不过还是要谢谢你
曲面积分计算问题(高斯定理的利用)计算曲面面积I = ∫∫2x^3dydz+2y^3dzdx+3(z^2-1)dxdy∑其中∑是曲面z=1-x^2-y^2(z>=0)的上侧 我想知道第一次运用高斯定理之后的三重积分如何作!仰望的思路正确
高斯公式要求封闭的曲面,所以在下面补了一个面,然后再减去,最后用柱面坐标积分,我是这么想的~
I=+∫ ∫∫(6x^2+6y^2+6z)dv- ∫∫2x^3dydz+2y^3dzdx-3dxdy
=∫【0,2π】d0∫【0,1】dr∫[0,(1-r^2)](6r^2+6z)dz-∫∫3dxdy
=24π/5-6π=-6π/5
而∑表示的是一个抛物面,在dxdy上的投影是一个圆形面积为2π
用高斯定律得
I=∫∫∫(6x^2+6y^2+6z)dv=∫∫∫6dv=6v,v是曲面与z=0所围成的体积
曲面是个圆抛物面
v=∫πr^2dz 积分区间是[0,1]
r^2=x^2+y^2=1-z
v=π∫1-zdz=π(z-z^2/2)=π/2
I=6v=3π