矩阵的非退化与奇异性之间有何关系
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/27 12:03:03
矩阵的非退化与奇异性之间有何关系
矩阵的非退化与奇异性之间有何关系
矩阵的非退化与奇异性之间有何关系
楼上的误解.
不错,非奇异矩阵一定是方阵,其行列式不等于0.
但是要知道矩阵的非退化,要求的是该矩阵首先是满秩,其次是可逆,也就是说同为方阵!
楼上的是将求二次型的标准型中的非退化变换x=cy与特征值与特征向量的求解中AP=kP中的特征向量P混淆了,特征向量则可以是列向量或者是行向量,而矩阵的非退化一定为满秩的方阵.
如此说来,非退化矩阵与非奇异矩阵均为满秩方阵,只是前者常用于二次型的标准型中的非退化变换x=cy中的一个说法,没什么本质上的区别.
非奇异矩阵可以是非退化矩阵,非退化矩阵亦可是非奇异矩阵
非奇异的意思是行列式不等于0，矩阵一定是方阵
非退化是矩阵是满秩的（行满秩或列满秩），矩阵不一定是方阵
所以，非奇异矩阵一定是非退化矩阵，但非退化矩阵不一定是非奇异矩阵
这种对称阵的奇异性一般是求其行列式的值是否为0，好的方法可用到对称性。
二楼的讲法基本上是对的，但是也不要去否定一楼。
习惯上“非退化矩阵”一般指的就是非奇异矩阵，或者叫可逆矩阵，通常只对方阵使用。
从术语的角度讲，“非奇异”指的是det(A)非零，“可逆”指的是A^{-1}存在，对于方阵而言这两者恰好等价，在线性代数领域非奇异这个称呼用得比较多，在泛函分析或其它领域里则一般都用可逆。
至于非退化，因为“退化”的含义需要看场合，也就是这个术语通...
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二楼的讲法基本上是对的，但是也不要去否定一楼。
习惯上“非退化矩阵”一般指的就是非奇异矩阵，或者叫可逆矩阵，通常只对方阵使用。
从术语的角度讲，“非奇异”指的是det(A)非零，“可逆”指的是A^{-1}存在，对于方阵而言这两者恰好等价，在线性代数领域非奇异这个称呼用得比较多，在泛函分析或其它领域里则一般都用可逆。
至于非退化，因为“退化”的含义需要看场合，也就是这个术语通常需要一些额外的说明才能用，所以很少有人不加说明地使用“非退化矩阵”这个术语，我建议你也不要用，对于可逆方阵用可逆、非奇异、满秩都可以，这些不会引起误解。
举例来说，对于方阵而言
det(A)=0可以看作退化；
但在讨论二次曲面分类的时候f(x,y,z,1)=x^2+y^2-1通常认为非退化（虽然相应的表示矩阵是奇异的）；
甚至于可以定义可对角化矩阵是非退化的，或者定义没有重特征值的矩阵是非退化的，这些定义也都有合理性。
所以从这个角度讲一楼的定义是合理的，但不能不加说明地直接使用，因为这个毕竟不是通用的术语。
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