已知：将一副三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）如图①摆放,点E、A、D、B在一条直线上,且D是AB的中点．将Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转角α（0°＜α＜90°）,在旋转过程中,直线DE、AC相交于点M,直线DF、BC
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/21 22:10:34
已知：将一副三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）如图①摆放,点E、A、D、B在一条直线上,且D是AB的中点．将Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转角α（0°＜α＜90°）,在旋转过程中,直线DE、AC相交于点M,直线DF、BC
已知：将一副三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）如图①摆放,点E、A、D、B在一条直线上,且D是AB的中点．将Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转角α（0°＜α＜90°）,在旋转过程中,直线DE、AC相交于点M,直线DF、BC相交于点N,分别过点M、N作直线AB的垂线,垂足为G、H．
（1）当α=30°时（如图②）,求证：AG=DH；
（2）当0°＜α＜90°时,（1）中的结论是否成立?请根据图③说明理由．
（3）在Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转过程中,DM与DN的比值是否发生改变?如果不改变,请直接写出比值；如果改变,请说明理由．
已知：将一副三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）如图①摆放,点E、A、D、B在一条直线上,且D是AB的中点．将Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转角α（0°＜α＜90°）,在旋转过程中,直线DE、AC相交于点M,直线DF、BC
1) ∵ ∠AGM+∠AMG=90°,∠AGM+∠AMG=90°∴三角相等 且 共边MG
∴ Rt△AGM≌Rt△DGM,同理Rt△BHC≌Rt△DHC,
∴ AG=GD= AD/2, DH=HB=DB/2
∵ AD = DB, ∴ AG=DH
2)∵ ∠MDG+∠MGD=90°,∠MDG+∠NDH+90°=180°,
∴∠MGD=∠NDH,由于三角相等 ∴ Rt△MGD相似于Rt△DHN
∴ DG/MG=NH/DH ∴DG*DH=MG*NH
同理∵∠MAG=∠BNH=60°∴ Rt△MGD∽Rt△DHN
∴ AG/MG=BH/DH ∴AG*BH=MG*NH
∴AG*BH=DG*DH ∴设AD=DB=t, AG*(t-DH)=(t-AG)*DH ∴t*AG=t*DH ∴AG=DH
3)如上所述,Rt△MGD∽Rt△DHN ∴ DM/DN=MG/DH=MG/AG=tg30°=√3／3=0.5774
（1）证明：由题意可得：∠A=∠ADM=30°，
∴MA=MD，
又∵MG⊥AD于点G，
∴AG=DG，
∵∠BDC=180°-∠ADE-∠EDF=180°-30°-90°=60°=∠B，
∴CB=CD，
∴C与N重叠，
又∵NH⊥DB于点H，
∴DH=BH，
∵AD=DB，
∴AG=DH；
（2）当0°＜α＜...
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（1）证明：由题意可得：∠A=∠ADM=30°，
∴MA=MD，
又∵MG⊥AD于点G，
∴AG=DG，
∵∠BDC=180°-∠ADE-∠EDF=180°-30°-90°=60°=∠B，
∴CB=CD，
∴C与N重叠，
又∵NH⊥DB于点H，
∴DH=BH，
∵AD=DB，
∴AG=DH；
（2）当0°＜α＜90°时，（1）中的结论成立．
如图③，在Rt△AMG中，∠A=30°，
∴∠AMG=60°=∠B，
又∵∠AGM=∠NHB=90°，
∴△AGM∽△NHB，
∴ AG/NH ＝ MG/BH ，…①
∵∠MDG=α，
∴∠DMG=90°-α=∠NDH，
又∵∠MGD=∠DHN=90°，
∴Rt△MGD∽Rt△DHN，
∴ DH/MG ＝ NH/DG ，…②
①×②，得 DG/AG ＝ BH/DH ，
由比例的性质，得
DG+AG/AG ＝ BH+DH/DH ，即 AD/ AG ＝ BD/DH ，
∵AD=DB，
∴AG=DH；
（3）在Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转过程中， DM DN 值没有改变，
∵Rt△MGD∽Rt△DHN，
∴ DM/DN = MG/DH ，
∵AG=DH，
∴ DM/DN = MG/AG =tan∠A=tan30°= √3/3 ，
∴ DM/DN ＝√3/3 ．
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