等值函数的法向量为什么等于其梯度高等数学下册中（同济大学第六版第九章第七节提到过）
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/24 18:53:31
等值函数的法向量为什么等于其梯度高等数学下册中（同济大学第六版第九章第七节提到过）
等值函数的法向量为什么等于其梯度
高等数学下册中（同济大学第六版第九章第七节提到过）
等值函数的法向量为什么等于其梯度高等数学下册中（同济大学第六版第九章第七节提到过）
我想楼主之所以问这样的一个问题,是因为楼主对梯度和法向量的理解不够深入,而且被“等值函数的法向量等于其梯度”这样一个貌似为定理的等式迷惑了,其实这个并不是什么定理,也不是什么等式,而只是等值函数的法向量的表达式与函数的梯度的表达式一致而已,并非两者之间必然的存在关系,因为你应该有如下认识：
梯度是对一个函数而言的,它代表此函数变化最快的方向,设有函数W=f(x,y,z),则其梯度为：
GradW=∂f/∂xi+∂f/∂yj+∂f/∂zk
而对于法向量,其存在是对于几何实体存在的,如曲线或曲面,对于函数W=f(x,y,z)其代表的几何实体可以是多种多样的,如变形为W-f(x,y,z)=0,则代表四维几何体,若对W取某特定值C,即f(x,y,z)=C,则代表三维空间的等值曲面.此时我们关注第二种情形,即函数W=f(x,y,z)取某定值C,此时f(x,y,z)=C,则为所谓的等值函数,其代表着等值曲面,对于等量面f(x,y,z)=C,其法向量的求解为n=(∂f/∂x,∂f/∂y,∂f/∂z)（法向量的求解方法如果你不记得了,请参照书本,基本原理为假设x,y,z的参数方程,利用复合函数的求导法则得到法向量）,至此,对比GradW与n,你可以发现两者表达式一致,所以有等值函数f(x,y,z)=C的法向量与函数W=f(x,y,z)的梯度相等这一说法,从此中可以看出正是因为“等值函数的法向量为什么等于其梯度 ”这一说法掩盖了梯度是对函数W=f(x,y,z)而言,法向量是对等量面f(x,y,z)=C而言这一实质,才有你的困惑的产生,对上述说法的更准确的描述应该是：（参照复旦数学系教材）梯度函数是由数量函数W=f(x,y,z)产生的,在每一点P处的梯度方向与过P点的等量面f(x,y,z)=C在这点法线方向相同.并且GradW=n
你看105页第七行那个单位法向量n的推导，最后得出了一个式子，对吧？
看那个式子，分母带绝对值符号，表示的是一个数，而分子是一个向量，所以n的方向一定与分子的方向一致
也就是说法向量的值等于梯度。（这里就不是单位法向量了，而是法向量）
望采纳~~(*^__^*) 嘻嘻……...
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你看105页第七行那个单位法向量n的推导，最后得出了一个式子，对吧？
看那个式子，分母带绝对值符号，表示的是一个数，而分子是一个向量，所以n的方向一定与分子的方向一致
也就是说法向量的值等于梯度。（这里就不是单位法向量了，而是法向量）
望采纳~~(*^__^*) 嘻嘻……
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设隐函数f(x,y)=0的参数方程为x=x(t),y=y(t).
则点(x,y)处切向量为(x'(t),y'(t)).
将x=x(t),y=y(t)代入f(x,y)=0得f(x(t),y(t))=0
由复合函数求导法则,对f(x(t),y(t))=0两边同时求导,即得
向量grad f(x,y)与向量(x'(t),y'(t))的点积等于0,
即,切向量(x'...
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设隐函数f(x,y)=0的参数方程为x=x(t),y=y(t).
则点(x,y)处切向量为(x'(t),y'(t)).
将x=x(t),y=y(t)代入f(x,y)=0得f(x(t),y(t))=0
由复合函数求导法则,对f(x(t),y(t))=0两边同时求导,即得
向量grad f(x,y)与向量(x'(t),y'(t))的点积等于0,
即,切向量(x'(t),y'(t))与grad f(x,y)正交,所以grad f(x,y)是法向量
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其实任何一个函数在某一点处的法向量都是其梯度
大向量就是切向量的垂直向量，梯度的推导也就是这样的