二元函数在某一点的梯度方向是唯一的,还是有无数个.他是等值线上该点的法线方向如何理解?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/02/02 13:29:31
二元函数在某一点的梯度方向是唯一的,还是有无数个.他是等值线上该点的法线方向如何理解?
二元函数在某一点的梯度方向是唯一的,还是有无数个.他是等值线上该点的法线方向如何理解?
二元函数在某一点的梯度方向是唯一的,还是有无数个.他是等值线上该点的法线方向如何理解?
你可以这样想象一个z=f(x,y)的三维图像,每一个（x,y）点都有一个z与之映射,可以想象得到那将是一个曲面,然后你想象曲面上一个特定的点,它就像你在爬山的时候站在半山腰一样.
如果你平的在那个半山腰左右走,那么你的高度是不会变的.这里高度就是z的值.这条你刚刚走的线就是等值线.既然在求梯度的时候要求导,正如一元函数一样,你把“很小的曲面”当作“平面”来求导,正如你在一元函数中把“一小段曲线”当化做"直线"一样.你可以想象如果你笔直朝着山顶走,就可以最快的上升（如果是平面,而且你的速度一定的话）.这条向上的线的就是梯度向量加上z的增量所组成的向量.（注意,二元函数的梯度是二维的向量.两个维度是自变量.）
现在你已经在这个曲面上找到了等值线和梯度了,试想下,你在一个斜的平面上走,向上升最快的方向是不是唯一的呢?平着走和向上走两个方向是不是垂直的呢?所以说,梯度是等值线的法线方向.
这就是梯度几何意义,如果用向量乘来计算,那将是
→ →
Δz = grad z · L
我很奇怪为什么打出来这个点乘符号这么小.左边是z的增加量,就是上升多少,右边是一个向上走的方向,一个是你现在选择的前进的方向向量.这里选择前进方向为（Δx,Δy）,得到：
ΔZ=Z'｜x · ΔX +Z'｜y ·ΔY 你可以看到,这就是二元函数偏导的定义.
现在把你前进的速度定为1,也就是L的长度定为1,得到的值就是方向导数.这是因为你选定了方向和速度,那么左边就是你上升的速度,也就是方向导数.
希望我的话对你理解有所帮助.
唯一的。 二元函数z=f(x,y) 在（x0,y0） 点的梯度为(df/dx,df/dy)|(x0,y0)（偏导）
它可以理解为函数变化最快的方向。下面严格证明。过（x0,y0）函数的等值线为
f(x,y)=f(x0,y0) ，它确定了y与x之间的一个隐函数y=h(x). 等值线在(x0,y0)处的切线方向为
（1,dy/dx）|x=x0 对f(x,y)=f(x0,y0...
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唯一的。 二元函数z=f(x,y) 在（x0,y0） 点的梯度为(df/dx,df/dy)|(x0,y0)（偏导）
它可以理解为函数变化最快的方向。下面严格证明。过（x0,y0）函数的等值线为
f(x,y)=f(x0,y0) ，它确定了y与x之间的一个隐函数y=h(x). 等值线在(x0,y0)处的切线方向为
（1,dy/dx）|x=x0 对f(x,y)=f(x0,y0) 两边对x求全微分得 0=df/dx+df/dy*dy/dx
右端正好就是梯度方向点乘 切线方向，所以。。
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