求:关于均值不等式的证明要数学归纳法的.最好是word文档,谢谢!

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 16:14:16
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求:关于均值不等式的证明
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用数学归纳法证明,需要一个辅助结论.
引理:设A≥0,B≥0,则(A+B)n≥An+nAn-1B.
注:引理的正确性较明显,条件A≥0,B≥0可以弱化为A≥0,A+B≥0,有兴趣的同学可以想想如何证明(用数学归纳法).
原题等价于:((a1+a2+…+an )/n)n≥a1a2…an.
当n=2时易证;
假设当n=k时命题成立,即
((a1+a2+…+ak )/k)k≥a1a2…ak.那么当n=k+1时,不妨设ak+1是a1,a2 ,…,ak+1中最大者,则
k ak+1≥a1+a2+…+ak.
设s=a1+a2+…+ak,
((a1+a2+…+ak+1)/(k+1))k+1
=(s/k+(k ak+1-s)/(k(k+1)))k+1
≥(s/k)k+1+(k+1)(s/k)k(k ak+1-s)/k(k+1) 用引理
=(s/k)k ak+1
≥a1a2…ak+1.用归纳假设

均值不等式为:√xy<=(x+y)/2,其中x,y>0,且“=”成立当且仅当x=y
证明:
(x-y)^2=x^2+y^2+2xy-4xy>=0
故(x+y)^2>=4xy,因为 x,y>0,开方即得:
√xy<=(x+y)/2,且易知,等号成立当且仅当x=y