对于定义域是一切实数的函数f(x),若存在实数x0,使f(x0)=x0成立,则称x0为f(x0)的不动点.已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1)(a≠0） 若任意实数b,f(x)恒有两个相异的不动点,求实数a的取值范围
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/25 07:10:49
对于定义域是一切实数的函数f(x),若存在实数x0,使f(x0)=x0成立,则称x0为f(x0)的不动点.已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1)(a≠0） 若任意实数b,f(x)恒有两个相异的不动点,求实数a的取值范围
对于定义域是一切实数的函数f(x),若存在实数x0,使f(x0)=x0成立,则称x0为f(x0)的不动点.
已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1)(a≠0） 若任意实数b,f(x)恒有两个相异的不动点,求实数a的取值范围
对于定义域是一切实数的函数f(x),若存在实数x0,使f(x0)=x0成立,则称x0为f(x0)的不动点.已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1)(a≠0） 若任意实数b,f(x)恒有两个相异的不动点,求实数a的取值范围
此题采用构造法,转化为二次函数存在2个零点
设g（x）=f（x）-x=ax2+bx+(b-1)
令g（x）=0
故ax2+bx+(b-1)=0有2个不等实根
△>0
b²-4a（b-1）＞0
参变量分离
当b＞1时a＜b²/（4b-4）恒成立
即a＜b²/（4b-4）的最小值
不知道LZ导数会不,这里我用导数求出当b=2时取到最小值1
a＜1
当b=1时,△=1恒成立
b＜1时a＞b²/（4b-4）恒成立
a＞b²/（4b-4）的最大值
同样的由导数可知b²/（4b-4）在（-∞,0）单调递增.（0,1）单调递减
所以最大值在0时取到 为0
a＞0
3种情况必须同时满足
故取交集
0＜a＜1
第二种解法是把 b²-4a（b-1）>0看成新的一元二次方程
将a看成已知量
再用△
也就是f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1)=0有两个不同的根
判别式=(b+1)^2-4a(b-1)=b^2-2(2a-1)b+4a+1=(b-2a+1)^2-4a^2+8a恒大于零
即 -4a^2+8a>0
解得 0