已知函数f(x)=lnx-a/x；(1)当a＞0时,判断f（x)在定义域上的单调性；（2）求f（x）在[1,e]上的最小值.能把第（2）题的思路写一下（写详细些）吗.我有答案可是看不懂答案呀.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 16:27:12
已知函数f(x)=lnx-a/x；(1)当a＞0时,判断f（x)在定义域上的单调性；（2）求f（x）在[1,e]上的最小值.能把第（2）题的思路写一下（写详细些）吗.我有答案可是看不懂答案呀.
已知函数f(x)=lnx-a/x；(1)当a＞0时,判断f（x)在定义域上的单调性；（2）求f（x）在[1,e]上的最小值.
能把第（2）题的思路写一下（写详细些）吗.我有答案可是看不懂答案呀.
已知函数f(x)=lnx-a/x；(1)当a＞0时,判断f（x)在定义域上的单调性；（2）求f（x）在[1,e]上的最小值.能把第（2）题的思路写一下（写详细些）吗.我有答案可是看不懂答案呀.
因为f′(x)=x+a/ x^2 ,x＞0．
①当a≥0时,f（x）在（0,+∞）上为增函数,f（x）min=f（1）
②当0＜-a≤1时,即a≥-1时,f（x）在（0,+∞）上也是增函数,f（x）min=f（1）
③当1＜-a＜e时,即-e＜a＜-1时,f（x）在[1,-a]上是减函数,在（-a,e]上是增函数,f（x）min=f（-a）
④当-a≥e时,即a≤-e时,f（x）在[1,e]上是减函数,f（x）min=f（e）最后取并集．
a>0时
lnx-a/x在此区间单调增
a<=0时
lnx-a/x在此区间单调增
综上，lnx-a/x在[1,e]单调增
所以最小值=ln1-a/1=-a
还有什么不懂的？
(1)任取x1,x2∈(0, ∞),且x1
∵x2>x1>0 ∴0
∴ln(x1/x2) a(x1-x2)/x1x2<0,
得f(x1)
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(1)任取x1,x2∈(0, ∞),且x1
∵x2>x1>0 ∴0
∴ln(x1/x2) a(x1-x2)/x1x2<0,
得f(x1)
（2）任取x1,x2∈(0, ∞),且x1
∵x2>x1>0 ∴0
∴ln(x1/x2) a(x1-x2)/x1x2<0,
得f(x1)
(b)判定：当a<0时： 判定a<0的取值对于f(x)的单调性的变化
∴ln(x1/x2) a(x1-x2)/x1x2>0,
得f(x1)>f(x2)
∴f(x)是(0, ∞)上的减函数.
(c)判定：当a=0时 判定a=0的取值对于f(x)的单调性的变化
∴ln(x1/x2) a(x1-x2)/x1x2＝0,
得f(x1)＝f(x2)
∴此时无法判定f(x)的单调性
但是把a=0代入原式得到：
.f(x)=lnx-a/x＝lnx
直接对数函数可以得到
f(x)是(0, ∞)上的增函数.
从而根据上面得到：f(x)在[1,e]上的最小值
（a）判定：当a>0时：
f(x)是(0, ∞)上的增函数.
f(x)在[1,e]上的最小值为f(1)=ln1-a/1=-a
(b)判定：当a<0时：
f(x)是(0, ∞)上的减函数.
f(x)在[1,e]上的最小值为f(e)=lne-a/e=1-a/e
(c)判定：当a=0时
f(x)是(0, ∞)上的增函数.
f(x)在[1,e]上的最小值为f(1)=ln1-0/1=0
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