三角形内接与圆O,AB是圆O直径,点D在圆O上,过点C的切线交AD的延长线与点E,且AE垂直于CE,连接CD求证（1）AC平分角BAE（2）DC等于BC（3）若AB=5,AC=4,求sin角CDE的值题目补充“三角形ABC内接与圆O”
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/26 08:43:39
三角形内接与圆O,AB是圆O直径,点D在圆O上,过点C的切线交AD的延长线与点E,且AE垂直于CE,连接CD求证（1）AC平分角BAE（2）DC等于BC（3）若AB=5,AC=4,求sin角CDE的值题目补充“三角形ABC内接与圆O”
三角形内接与圆O,AB是圆O直径,点D在圆O上,过点C的切线交AD的延长线与点E,且AE垂直于CE,连接CD
求证（1）AC平分角BAE（2）DC等于BC（3）若AB=5,AC=4,求sin角CDE的值
题目补充“三角形ABC内接与圆O”
三角形内接与圆O,AB是圆O直径,点D在圆O上,过点C的切线交AD的延长线与点E,且AE垂直于CE,连接CD求证（1）AC平分角BAE（2）DC等于BC（3）若AB=5,AC=4,求sin角CDE的值题目补充“三角形ABC内接与圆O”
证明：（1）、连接OC
∵ CE是圆O切线
∴OC⊥CE
∵AE⊥CE
∴OC‖AE
∴∠OCA=∠EAC
∵OA=OB
∴∠OCA=∠OAC
∴∠EAC=∠OAC
即AC平分角BAE
（2）、∵∠EAC=∠OAC
∴弧CD=弧BC
∴DC=BC
(3)、作CF⊥AB于F
∴∠CFB=∠CED=90°
∵∠EAC=∠BAC CE⊥AE CF⊥AB
∴CE=CF
∵DC=BC
∴△CED≌△CFB
∴∠B=∠CDE
RT△ACB中,sin∠B=AC/AB=4/5
∴ sin∠CDE= sin∠B=4/5
CE是圆O切线
∴OC⊥CE
∵AE⊥CE
∴OC‖AE
∴∠OCA=∠EAC
∵OA=OB
∴∠OCA=∠OAC
∴∠EAC=∠OAC
证明： （1）、因为：EC是圆0的切线 所以：∠ECD=∠CAE, 而:∠CED=∠AEC=90° （公共角） 所以：RT△DEC∽RT△CEA 所以：∠EDC=∠ECA 而：∠EDC=∠B 所以：∠ECA=∠B 又：∠BCA=∠CEA=90° 所以：RT△ABC∽RT△ACE 所以：∠BAC=∠CAE 所以：AC平分∠BAE （2)、所以：DC=BC (同圆上圆周角相等，圆周角所对的弦也相等） （3)、因为：AB=5,AC=4,∠ACB=90° 所以：sin∠ABC=AC/AB=4/5 而∠CDE=∠ABC 所以：sin∠CDE=4/5