数学函数和导数的高中题已知函数f(X)=1/3x^3-a+1/2x^2+bx+a (a,b属于R),其导函数f'(x)的图像过原点（1）当a=1时,求函数f(x)的图像在x=3处的切线方程.（2）若存在x
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 18:44:46
数学函数和导数的高中题已知函数f(X)=1/3x^3-a+1/2x^2+bx+a (a,b属于R),其导函数f'(x)的图像过原点（1）当a=1时,求函数f(x)的图像在x=3处的切线方程.（2）若存在x
数学函数和导数的高中题
已知函数f(X)=1/3x^3-a+1/2x^2+bx+a (a,b属于R),其导函数f'(x)的图像过原点
（1）当a=1时,求函数f(x)的图像在x=3处的切线方程.
（2）若存在x
数学函数和导数的高中题已知函数f(X)=1/3x^3-a+1/2x^2+bx+a (a,b属于R),其导函数f'(x)的图像过原点（1）当a=1时,求函数f(x)的图像在x=3处的切线方程.（2）若存在x
第一步：求b
已知f(x),所以可求f'(x),即f'(x)=X^2-(a+1)X+b
又由题意可知（0,0）满足f'(x)=X^2-(a+1)X+b ,所以将点（0,0）代入f'(x)=X^2-(a+1)X+b可求 得：b=0
1）因为a=1,b=0 所以f'(x)=X^2-(a+1)X+b=X^2-2X
当X=3时,K=f'(3)=3（用K表示函数f(x)在X=3处的斜率）
因为f(x)=(1/3)x^3-x^2+1 ,所以f(3)=1
所以可 设函数f(x)的图像在X=3处的切线方程为y=3x+B,（关键就是求B了）
由题意可知点（3,1）在直线y=3x+B上,所以代入点,可求得B= -8
所以函数f(x)的图像在X=3处的切线方程为y=3x-8
2）由题意可知X^2-(a+1)X=-9 ,即 存在方程X^2-(a+1)X +9=0
问题2就变成了：如果方程X^2-(a+1)X +9=0在X
求实数a的值；（2） 设b≠0，函数g(x)=1/3bx^3-bx ,x∈（1,2）f(x-4)=2f(x-2)=4f(x) x∈（0,2）时x-4∈（-4,-2）即x∈（
由题得:
f(x)'=(3-a)/3*x^(2-a)+x+b
因f(x)'过原点(0,0)
0=(3-a)/3+b→a-3b=3
(1)当a=1时, b=-2/3
f(3)'=
(3)因为f'(x)=X^2-(a+1)X 令f'(x)=0 可得x=0或x=a+1 因为a+1>0 f(x)在（负无穷，0】和【a+1，正无穷）上增 在（0,a+1）上减 f(0)最大=a>0 f(a+1)=(-a^3-3a^2+3a-1)/6 对(-a^3-3a^2+3a-1)/6求导可得 当a=2^(1/2)-1时f(a+1)最大=18^(1/2)-7<0 则f(x)有三个零点