高中数学题(有关于导数的应用)已知函数f(x)=x^3+alnx(1)当a=-2时,求函数f(x)的单调区间和极值(2)若g(x)=f(x)+2/x在[1,+∞)上是单调函数,求实数a的取值范围
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2025/02/04 07:55:09
高中数学题(有关于导数的应用)已知函数f(x)=x^3+alnx(1)当a=-2时,求函数f(x)的单调区间和极值(2)若g(x)=f(x)+2/x在[1,+∞)上是单调函数,求实数a的取值范围
高中数学题(有关于导数的应用)
已知函数f(x)=x^3+alnx
(1)当a=-2时,求函数f(x)的单调区间和极值
(2)若g(x)=f(x)+2/x在[1,+∞)上是单调函数,求实数a的取值范围
高中数学题(有关于导数的应用)已知函数f(x)=x^3+alnx(1)当a=-2时,求函数f(x)的单调区间和极值(2)若g(x)=f(x)+2/x在[1,+∞)上是单调函数,求实数a的取值范围
很简单,我假设你已经懂得一元三次多项式的根的公式表达式.
1)f(x)=x立方+alnx 当a=-2时
f(x)=x立方-2lnx 则f'(x)=3x平方-2/x=(3x立方-2)/x
对于一元三次多项式 3x立方-2=0 根据一元三次多项式的根的表达式
得到3x立方-2=3[x-三次根号下(2/3)][x平方+三次根号下(2/3)+三次根号下(4/9)]
容易知道该方程后面的一项显然是大于0的
所以只需要计算 x[x-三次根号下(2/3)] 且x≠0
则有极值点 x=三次根号下(2/3) 容易判断这是极小点 极小值为f[三次根号下(2/3)]=2/3-2/3ln(2/3)
单调区间在(-∞,0)上递增,(0,三次根号下(2/3)]上递减,[三次根号下(2/3),+∞)递减
2)g(x)=f(x)+2/x=x立方+alnx+2/x 在[1,+∞)上单调 则 g'(x)=3x平方+a/x-2/x平方=[3x四次方+ax-2]/x平方 其符号不变
设u(x)=3x四次方+ax-2显然要求其符号也是不变的 u'(x)=12x立方+a 在[1,+∞)
如果 三次根号下(a/12)12+a>0 故此时 u'(x)>0 3+a-2>0得到a>-1
此时 -1(12/15)*四次根号下(120)
容易求得 a>等于12立方
综上所述 a>-1
(1)、f(x)在(0,+∞)有意义。
f'(x)=3x^2+a/x
当a=-2时,令3x^2-2/x=0,解得x=(2/3)^(1/3)
0>x<(2/3)^(1/3)时,3x^2-2/x<0,所以f(x)在(0,(2/3)^(1/3))单调递减;
同理,f(x)在[(2/3)^(1/3),+∞)单调递增。
f((2/3)^(1/3))=2/3*(1-ln...
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(1)、f(x)在(0,+∞)有意义。
f'(x)=3x^2+a/x
当a=-2时,令3x^2-2/x=0,解得x=(2/3)^(1/3)
0>x<(2/3)^(1/3)时,3x^2-2/x<0,所以f(x)在(0,(2/3)^(1/3))单调递减;
同理,f(x)在[(2/3)^(1/3),+∞)单调递增。
f((2/3)^(1/3))=2/3*(1-ln2+ln3)为极值。
(2)令f'(x)=3x^2+a/x=0,得x=-(a/3)^(1/3)
由题可知0<-(a/3)^(1/3)<=1,解得
-3<=a<0.
收起
第一步,先对F(x)求导,然后令大于小于零,就可以知道单调区间,然后令其等于0就可以得到极值。
第二步,同样的方法求导以后,1是极值,所以X=1的时候方程是等于零的。这样就可以得到A的取值范围了。
lnX的求导是1/X