若正数ab满足a+b=1求证根号2a+1+根号2b+1
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/24 13:10:05
若正数ab满足a+b=1求证根号2a+1+根号2b+1
若正数ab满足a+b=1求证根号2a+1+根号2b+1
若正数ab满足a+b=1求证根号2a+1+根号2b+1
√(2a+1)+√(2b+1)(记得根号下的内容要打括号括起来)
∵√(2a+1)+√(2b+1)>0
[√(2a+1)+√(2b+1)]^2
=2a+1+2b+1+2√[(2a+1)(2b+1)]
=2(a+b)+2+2√[2(a+b)+1+4ab]
=4+2√(3+4ab)
≤4+2√(3+2ab+a^2+b^2)
=4+2√[3+(a+b)^2]
=8
∴√(2a+1)+√(2b+1)≤√8=2√2
故其最大值为2√2,而2√2≈2.828
y=√(2a+1)+√(2(1-a)+1)=√(2a+1)+√(3-2a)
y'=[1/√(2a+1)]-[1/√(3-2a)]=0 --> a=2/5时,y 最大。
y≤√(2a+1)+√(3-2a))≤2√2 < 3
根号2a+1+根号2b+1,两边同时平方
得2a+1+2b+1因为a+b=1所以
2a+1+2b+1=4因为3的平方是9
4<9所以根号2a+1+根号2b+1<3
令y=√2a+1+√2b+1
根号大于等于0
所以y>=0
y^2=2a+1+2√(2a+1)(2b+1)+2b+1
=2(a+b)+2+2√(2a+1)(2b+1)
=2*1+2+2√(2a+1)(2b+1)
=4+2√(2a+1)(2b+1)
(2a+1)(2b+1)=4ab+2(a+b)+1=4ab+2*1+1=4ab+3
a>...
全部展开
令y=√2a+1+√2b+1
根号大于等于0
所以y>=0
y^2=2a+1+2√(2a+1)(2b+1)+2b+1
=2(a+b)+2+2√(2a+1)(2b+1)
=2*1+2+2√(2a+1)(2b+1)
=4+2√(2a+1)(2b+1)
(2a+1)(2b+1)=4ab+2(a+b)+1=4ab+2*1+1=4ab+3
a>0,b>0,所以a+b>=2√ab
即1>=2√ab
√ab<=1/2
所以0
0<4ab+3<=4
所以0<(2a+1)(2b+1)<=4
0<√(2a+1)(2b+1)<=2
4<4+2√(2a+1)(2b+1)<=4+2*2=8
即4
得证
收起
证明:∵正数ab满足a+b=1
∴(根号2a+1+根号2b+1)^2-3^2=2a+1+2b+1+2(根号2a+1+根号2b+1)-9=3+2(根号2a+1+根号2b+1)-9=2(根号2a+1+根号2b+1)-6=-[3-2(根号2a+1+根号2b+1)]-3=-(根号2a+1-根号2b+1)^2-3≤-3<0
∴(根号2a+1+根号2b+1)^2<3^2
∴根号2a+1+根号2b+1<3