在三角形ABC中,tanA+tanB+√3=√3×tanAtanB,sinAcosA=√3/4.判断此三角形的形状.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 21:16:57
在三角形ABC中,tanA+tanB+√3=√3×tanAtanB,sinAcosA=√3/4.判断此三角形的形状.
在三角形ABC中,tanA+tanB+√3=√3×tanAtanB,sinAcosA=√3/4.判断此三角形的形状.
在三角形ABC中,tanA+tanB+√3=√3×tanAtanB,sinAcosA=√3/4.判断此三角形的形状.
tanA+tanB+√3=√3×tanAtanB
→tanA+tanB=√3×(tanAtanB-1)
→tanA+tanB/(1-tanAtanB)=-√3
→tan(A+B)=-√3
→A+B=120°
sinAcosA=√3/4
→2sinAcosA=√3/2
→sin2A=√3/2
→A=30°或60°
由于tanB存在,所以B≠90°,于是A≠30°
于是A=B=60°,此三角形为等边三角形.
因为tan（A+B）=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
tanA+tanB+√3=√3×tanAtanB可得(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=√3
所以tan（A+B）=√3
所以A+B=π/3或2π/3
因为sin2A=2sinAcosA=√3/2
所以2A=π/3或2π/3
所以A=π/6或π/3
联合A+...
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因为tan（A+B）=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
tanA+tanB+√3=√3×tanAtanB可得(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=√3
所以tan（A+B）=√3
所以A+B=π/3或2π/3
因为sin2A=2sinAcosA=√3/2
所以2A=π/3或2π/3
所以A=π/6或π/3
联合A+B=π/3或2π/3
所以（A,B）=（π/6，π/6）或（π/6，π/2）或（π/3，π/3）
因为当B=π/2时，tanB就没意义了，所以B≠π/2
当（A,B）=（π/6，π/6）时，tanA+tanB+√3=√3×tanAtanB不满足，舍去
所以（A,B）=（π/3，π/3），△ABC为等边三角形
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sinAcosA=√3/4
sin2A=√3/2
2A=60,或120
A=30，或60
当A=30,
tanA=√3/3
√3/3 +tanB+√3=tanB,无解
当A=60,
tanA=√3
√3 +tanB+√3=3tanB
tanB=√3, B=60
三角形为等边三角形
1/2sin2A=sinAcosA=√3/4,
sin2A=√3/2
2A=60或120度
A=30或60度
1）A=30度
代入tanA+tanB+√3=√3×tanAtanB，
得矛盾方程！
2）A=60度，
代入tanA+tanB+√3=√3×tanAtanB，
得tanB=√3，
B=60度，从而C=60度
所以三角形是正三角形，即等边三角形。
sinAcosA=√3/4,
根据正弦倍角公式，
（1/2）sin2A=√3/4,sin2A=√3/2,
2A=120度，或2A=60度，
A=60度，或A=30度，
tanA+tanB+√3=√3*tanAtanB,（1）
当A=60度时，代入（1）式，
tanB=√3,B=60度，
三角形是等边三角形，
当A=30度时，<...
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sinAcosA=√3/4,
根据正弦倍角公式，
（1/2）sin2A=√3/4,sin2A=√3/2,
2A=120度，或2A=60度，
A=60度，或A=30度，
tanA+tanB+√3=√3*tanAtanB,（1）
当A=60度时，代入（1）式，
tanB=√3,B=60度，
三角形是等边三角形，
当A=30度时，
代入（1）式，
√3/3+tanB=√3*√3/3*tanB,
√3/3+tanB=tanB,等式无意义，
故只有A=60度，
此三角形是等边三角形。
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